La enseñanza de la numeración de los pueblos originarios de México 2

CAPÍTULO 3. ASPECTOS GENERALES DE LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN DE LAS LENGUAS: EL CASO DEL ËYUUJK.

¿Por qué es importante qué los profesores conozcan la numeración de las lenguas originarias?

En México, existe un amplio marco normativo que protege a las lenguas originarias y promueve su desarrollo ¹. Las numeraciones originarias, al ser parte de esas lenguas, necesariamente están protegidas por las leyes, y su desarrollo debe ser promovido. Así como las lenguas originarias se tienen que promover y fortalecer, así también sus sistemas de numeración.

En general, las normatividad vigente nos señalan que es obligación del gobierno, en sus tres niveles, fomentar, promover, revalorar y desarrollar las lenguas indígenas de México. Además es responsabilidad del Estado Mexicano elaborar planes y programas de estudio, dirigidos a los pueblos indígenas, asumiendo un enfoque intercultural, donde se incluyan los conocimientos propios de cada comunidad indígena. Se considera herencia cultural a la lengua. Todas las lenguas indígenas tienen un sistema de numeración, por tal razón, se debe incluir la enseñanza de estos sistemas en los programas de estudio. De igual forma, los pueblos indígenas tienen el derecho a recibir una educación Bilingüe Intercultural.

Para los docentes que trabajan en las comunidades, es obligación del estado garantizar que sepan, entiendan y comprendan el sistema de numeración de la

1 Este marco se describe a detalle en el Anexo 1.

población donde prestan sus servicios, para que enseñen a los a niños a reflexionar la lógica de su sistema de numeración. Los hablantes de lenguas indígenas tienen el derecho de una educación que se les imparta en la propia lengua y español. En esa practica y uso de la lengua se debe incluir el estudio, la lectura y escritura de la numeración indígena

Por último, las normas permiten que los propios hablantes hagan propuestas e intervenciones pedagógicas con la finalidad de favorecer la enseñanza de la numeración como aspecto de la lengua. Toda esta acción es un derecho que deben ejercer los miembros de un pueblo y hablantes de una lengua indígena.

Es importante señalar que la enseñanza de la numeración de la lengua propia da respuesta a la interculturalidad, que es uno de los tres elementos sustantivos del plan y los programas de estudio de educación primaria vigentes. También, al enseñar la numeración de los pueblos originarios, se cumple con uno de los siete propósitos del estudio de las matemáticas para la educación primaria (ver Anexo 1).

En este capítulo se describen diferentes aspectos de los sistemas de numeración de algunas lenguas mesoamericanas de México. Poder reconocerlos es  importante para identificar la lógica cuantitativa en la que se fundamenta un sistema de numeración. Así cómo también que los docentes indígenas conozcan la estructura numérica de su lengua. En el primer apartado se habla de la numeración ëyuujk (ejemplo de análisis) y las características generales que puede haber en un sistema de numeración. Además se habla de las similitudes y diferencias entre los sistemas de numeración de algunas lenguas mesoamericanas: chinanteco, mazateco, mixe,

mixteco, zapoteco, zoque, lenguas que se hablan en el estado de Oaxaca y el tsotsil del estado de Chiapas.

3.1    Lexemas numéricos

Para expresar cantidades, las lenguas del mundo utilizan cadenas  fonéticas a las  que se les conoce como lexemas numéricos (Barriga, 1998). Estos lexemas pueden ser palabras o partes de una palabra; por ejemplo, un lexema numérico del español es tres. Este lexema puede ser usado como palabra (tres) o como parte de una palabra (veintitrés).

Los lexemas numéricos son unidades de significado de una lengua que indican cantidad (Barriga, 1998). En los sistemas de numeración de todas las lenguas del mundo hay algunos números que se expresan utilizando un solo lexema  numérico. En la Tabla 1 se muestran algunos ejemplos del ëyuujk².

Tabla 1. Números ëyuujk del 1 al 5

1                    tu‟uk

2                    mätsk

3                    tëkéëk

4                    mëjktaxk

5                    mëkoxk

2 El ëyuujk es la variante del ayuujk que se habla en el noreste del estado de Oaxaca.

En ëyuujk, los primeros cinco números  se expresan utilizando un solo lexema numérico. Eso quiere decir que cada número tiene su propio nombre, el cual no se deriva del nombre de algún otro número. Algo diferente sucede con los cuatro números siguientes (Tabla 2).

Tabla 2. Los números ëyuujk del 6 al 9

6                     tëtujk

7                     ëxtujk

8                     tuuktujk

9                     täxtujk

Los números del tëtujk (6) al täxtujk (9) se construyen combinando dos lexemas numéricos. En estos números, el lexema të (1) aparece en tëtujk (6), el lexema jëx

(2) en ëxtujk (7), el lexema tuujk (3) en tuuktujk(8) y el lexema täx (4) en täxtujk (9).

En estos números también aparece el lexema tujk, el cual sustituye a mëkoxjk para expresar 5.

Los números que se muestran como ejemplos. Únicamente se describen los lexemas numéricos en que pueden estar constituidos los números de cualquier lengua. En la tabla 7, se presentan los lexemas numéricos de los números ëyuujk del tu‟uk (1) al majktäxrujk (19).

3.2      Operaciones aritméticas

En los sistemas de numeración de las lenguas del mundo, la presencia de dos lexemas numéricos en un número implica la existencia de una operación aritmética (Barriga, 1998); generalmente se trata de una suma o de una multiplicación. En el caso de los números ëyuujk del tëtujk al täxtujk, se trata de la operación de la suma (Tabla 3).

Tabla 3. La suma en los números ëyuujk del 6 al 9

tëtujk:                 1+5

ëxtujk:                 2+5

tuuktujk:              3+5

täxtujk:                4+5

En esta tabla (3) únicamente se presentan ejemplos cómo se construyen  los lexemas numéricos del ëyuujk del uno al nueve. En la tabla 7 muestra cómo se construyen los números del uno al diecinueve.

En algunas lenguas, las operaciones aritméticas presentes en los números se marcan fonéticamente. Por ejemplo, el fonema i indica suma cuando aparece en los números del español (ej., veint-i-trés; 20+3). En el caso del ëyuujk, se utiliza la cadena fonética jëts ³ para indicar la suma. Esta cadena aparece completa por

3 En ëyuujk, la palabra jëts es una conjunción que realiza una función parecida a la de la palabra y del español por ejemplo: to’xtëjk jëts yiatëjk, [señoras y señores].

primera vez en el número 111 al 115. Únicamente aparece el prefijo jë que se deriva de la palabra jëts (Tabla 4).

Tabla 4. Los números del 111 al 115

mëkepx jë majktu‟uk	5 (20) +10 +1
mëkepx jë majkmätsk	5 (20) +10 +2
mëkepx jë majktëkëëjk	5 (20) +10 +3
mëkepx jë majkmajks	5 (20) +10 +4
mëkepx jë majkmokx	5 (20) +10 +5

Como puede verse (Tabla 4), en ëyuujk el 100 se expresa utilizando un solo lexema numérico: mëkepx (100). Los cuatro números subsiguientes se expresan  combinando este lexema con los del 11 al 15 (majktu‟ uk, majkmätsk, majktëkëëk, majkmäjks, majkmojkx). Además aparece jë que es una contracción de la  palabra jëts para indicar la suma.

3.2.1    Bases aditivas

En las lenguas del mundo, es común que haya secuencias de números que se construyen aditivamente utilizando una misma base (Barriga, 1998). Por ejemplo, como ya vimos, en ëyuujk, los números del tëtujk (6) al täxtujk (9) se expresan sumándole al mëkoxk (5; expresado como tujk ) los números del tu‟uk (1) al mëjktaxk (4). Además, los números del mäjk tu‟uk (11) al mäjkmäjks (14) se le suman los

números del tu‟uk (1) al mëjktaxk (4) se expresan utilizando como base al mäjk (10) (Tabla 5).

Tabla 5. Los números del 11 al 15

Mäjk (10)

Mäjk tu‟uk	10+1
Mäjk mätsk	10+2
Mäjk tëkeek	10+3
Mäjk mäjks	10+4
Mäjk mojkx	10+5

Como vemos, el 15 en ëyuujk se expresa utilizando dos lexemas numéricos: mäjk mojkx (15).

En los números  del 16 al 19 sucede algo parecido (Tabla 6).

Tabla 6. Los números  del 16 al 19.

16       Majk tuut

17       Majkëxtujk

18       Majktuuktujk

19       Majk tax tujk

Los cuatro números subsiguientes (16 al 19) utilizan el lexema mäjk como base, adicionando los números del tu‟uk (1) al mëjktäxk (4) además sumándole la base  tujk (5) Tabla 6

A los números como el tujk (5) y el mäjk (10) que en el sistema de numeración de una lengua se utilizan como bases para expresar una secuencia de números, se les conoce como bases aditivas (Barriga, 1998). El ëyuujk utiliza dos bases aditivas (5,

10) para expresar los números del 1 al 19 (Tabla 7).

Tabla 7. Los números del 1 al 19.

tu‟ujk	1
Mäjtsk	2
Tëkëëk	3
Mëktaxk	4
Mëkoxk	5
Tëtujk	1+ 5
Ëjxtujk	2+5
Tuuktujk	3+5
Taxtujk	4+5
mäjk	10

mäjk tu‟uk	10+1
mäjk matsjk	10+2
mäjk tëkëëk	10+3
mäjk mäks	10+4
mäjk mokx	10+5
mäjk tujt	10+1+5
mäjk ëjxtujk	10+2+5
mäjk tuuktujk	10+3+5
mäjk täxtujk	10+4+5

En la Tabla 7 puede notarse cómo al tujk (5) le anteceden números que, secuencialmente, incluyen los lexemas numéricos të (1), mätsk (2), tuuk (3) y mëjktaxk (4). Los números  que le siguen al majk (10) también incluyen secuencialmente a esos lexemas.

3.2.2    Bases multiplicativas

Como ya se mencionó, en los sistemas de numeración de las lenguas, la combinación de lexemas numéricos también puede implicar la operación de la multiplicación. Cuando en un sistema existe un número al que sistemáticamente se le multiplica para expresar otros números, se trata de una base multiplicativa (Barriga, 1998). En el sistema numérico del ëyuujk, el 20 , es una base multiplicativa. Las

primeras 4 veintenas se expresa n como una multiplicación de este número (Tabla 8). Además esta base multiplicativa aparece cuatro veces  cada que llega a 100 (ver  tabla 11).

Tabla 8. Los múltiplos de 20 en el sistema numérico del ëyuujk.

E‟px	20
Ëxtijkx	40
Tëkipx	60
Mäjktäpx	80

Estos múltiplos del 20 se utilizan para expresar los números del 21 al 99. Cada uno de ellos se usa para enunciar los diecinueve números que le siguen. Por ejemplo, al e‟px (20) se le van adicionando los números del tu‟uk (1) al mäjktäxtujk (19) para expresar los números del 21 al 39 (Tabla 9).

También los múltiplos de 20 aparecen en la construcción de los números del 121 al 999. Aparecen después del lexema numérico mëkeepx. Por ejemplo: mätsjk mëkeepx jë tëkipx (2X5X20) y (3X20).

Tabla 9. Los números ëyuujk del 21 al 39

20 e‟px	1(20)
21 e‟px tu‟uk	1 (20)+1
22 e‟px matsk	1 (20)+2

23 e‟px tëkëëk	1 (20)+3
24 e‟px mëjktaxk	1 (20)+4
25 e‟px mëkoxk	1 (20)+5
26 e‟px tëtujk	1 (20)+1+5
27 e‟px jëxtujk	1 (20)+2+5
28 e‟px tuuktujk	1 (20)+3+5
29 e‟px täxrtujk	1 (20)+4+5
30 e‟px mäjk	1 (20)+10
31 e‟px májk tu‟uk	1 (20)+10+1
32 e‟px mäjk matsk	1 (20)+10+2
33 e‟px mäjk tékëëk	1 (20)+10+3
34 e‟px mäjk maksj	1 (20)+10+4
35 e‟px mäjk mojkx	1 (20)+10+5
36 e‟px mäjk tujt	1 (20)+10+1+5
37 ep‟x mäjk jëxtujk	1 (20)+10+2+5
38 e‟px mäjk tuuktujk	1 (20)+10+3+5
39 e‟px mäjk täxtujk	1 (20)+10+4+5

En el caso del jëtikx (40), se le van adicionando los números del tu‟uk (1) al majk taxtujk (19) para expresar los números del 41 al 59 (Tabla 10).

Tabla 10. Los números ëyuujk del 41 al 59

40 jëxtikx	2 (20)
41 jëxtijkx tyu‟uk	2 (20)+1
42 jëxtijkx myiatsk	2 (20)+2
43 jëxtijkx tyëkëëk	2 (20)+3
44 jëxtijkx mëjktaxk	2 (20)+4
45 jëxtijkx myëkoxk	2 (20)+5
46 jëxtijkx tyujt	2 (20)+1+5
47 jëxtijkx jëxtujk	2 (20)+2+5
48 jëxtijkx tyuuktujk	2 (20)+3+5
49 jëxtijkx tyaxtujk	2 (20)+4+5
50 jëxtijkx myiäjk	2 (20)+10
51 jëxtijkx myiájktu‟uk	2 (20)+10+1
52 jëxtijkx myiäjkmatsk	2 (20)+10+2
53 jëxtijkx myiäjktëkëëk	2 (20)+10+3
54 jëxtijkx myiäjkmaks	2 (20)+10+4

55 jëxtijkx myiäjkmojkx	2 (20)+15
56 jëxtijkx myiäjktujt	2 (20)+10+1+5
57 jëxtijkx myiäjkjëxtujk	2 (20)+10+2+5
58 jëxtijkx myiäjktuuktujk	2 (20)+10+3+5
59 jëxtijkx myiäjktäxtujk	2 (20)+10+4+5

En los números de la tercera veintena (3X20) que es el tëkipx (60) al tëkipx myiajktáxtujk (79) sucede la misma operación aritmética. Lo misma forma sucede en la cuarta veintena (4X20) del mäjktapx (80) hasta el mäjktapx tyáxtujk (99).

Otra base multiplicativa del ëyuujk es el 100. Aparece a partir del 100 al 999. (Tabla 11)

Tabla 11. Los múltiplos de 100 al 900 en el sistema numérico ëyuujk

100 tu‟ukmëkepx	1(5X20)
200 mätskmëkepx	2 (5X20)
300 tëkëëk mëkepx	3 (5X20)
400 mëjktäxkmëkepx	4 (5X20)
500 mëkoxkmëkepx	5 (5X20)
600 tëtujkmëkepx	6 (5X20)

700 ëxtujkmëkepex	7 (5X20)
800 tuuktujk mëkepx	8 (5X20)
900 täxtujk mëkepx jë tëkipx	9 (5X20)

En la Tabla (11) sólo se presentan los múltiplos de 100. Del mëkepx al taxtujkmëkepx. Es importante comentar que para formar los números internos que hay en cada veintena se realiza la operación aritmética de la tabla 8. Por ejemplo para escribir 356 se escribe tres de cinco veintes, dos de veintes y diez, uno cinco [3 (5X20) 2 (20) +10+1+5] que se desarrolla hasta el 999.

Los múltiplos de 100 aparecen del 100 al 199. Cada uno de ellos se usa para expresar los ciento noventa y nueve números que le siguen. Por  ejemplo,  al mëkee‟px (5X20) se le van adicionando los números del tu‟uk (1) al mäjktaxtujk (19) Para expresar los números del 101 al 119 (Tabla 12)

Tabla 12. Los números del 101 al 119

101	mëkëpxtyu‟uk	5(20)+1
102	mëkëpxmyatsk	5(20)+2
103	mëkëpxtékëëk	5(20)+3
104	mëkëpxmyëjktäxk	5(20)+4
105	mëkëpxmyëkoxk	5(20)+5

106	mëkëpxtyëtujk	5(20)+6
107	mëkëpxjëxtujk	5(20)+7
108	mëkëpxtyuuktujk	5(20)+8
109	mëkëpxtyäxtujk	5(20)+9
110	mëkëpxmyäjk	5(20)+10
111	mëkëpx jë mäjktu‟ujk	5(20)+11
112	mëkëpx jë mäjkmatsk	5(20)+12
113	mëkëpx jë mäjktëkëëk	5(20)+13
114	mëkëpx jë mäjkmajks	5(20)+14
115	mëkëpx jë mäjkmojkx	5(20)+15
116	mëkëpx jë mäjktujt	5(20)+16
117	mëkëpx jë mäjkjëxtujk	5(20)+17
118	mëkëpx jë mäjktuuktujk	5(20+18
119	mëkëpx jë mäjktäxtujk	5(20)+19

A  partir del  121 al 139     se le agrega múltiplos de 20. Esto sucede en las cuatro veintenas (2X20, 3X20, 4X20) y adicionando los números del 1 al 19. (Tabla 13).

Tabla 13. Los números del 121 al 139

121	mëkëpx jë e‟px tu‟uk	5(20)+20+1
122	mëkëpx jë e‟px mätsk	5(20)+20+2
123	mëkëpx jë e‟px tëkëëjk	5(20)++20+3
124	mëkëpx jë e‟px mëjkjktäxk	5(20)++20+4
125	mëkëpx jë e‟px mëkoxk	5(20)++20+5
126	mëkëpx jë e‟px tëtujk	5(20)++20+6
127	mëkëpx jë e‟px jëxtujk	5(20)++20+7
128	mëkëpx jë e‟px tuuktujk	5(20)++20+8
129	mëkëpx jë e‟px täxtujk	5(20)++20+9
130	mëkëpx jë e‟px mäjk	5(20)++20+10
131	mëkëpx jë e‟px mäjktu‟uk	5(20)++20+11
132	mëkëpx jë e‟px mäjkmatsk	5(20)++20+12
133	mëkëpx jë e‟px mäjktëkëëjk	5(20)++20+13
134	mëkëpx jë e‟px mäjkmäks	5(20)++20+14
135	mëkëpx jë e‟px mäjkmojkx	5(20)++20+15
136	mëkëpx jë e‟px mäjktujt	5(20)++20+16
137	mëkëpx jë e‟px mäjkjëxtujk	5(20)++20+17

138	mëkëpx jë e‟px mäjktuuktujk	5(20)++20+18
139	mëkëpx jë e‟px mäjktäxtujk	5(20)++20+19

En los números del mätsk mëkeepx tyu‟uk 201 al 999 sucede la misma operación aritmética (Tabla 13) solo que los múltiplos de 100 se le agrega los lexemas numéricos mätsk (2) al täxtujk (9) (Tabla 11).