La enseñanza de la numeración de los pueblos originarios de México 4

Es importante decir que las irregularidades presentes en los sistemas de numeración de las lenguas mesoamericanas no los hacen particularmente difíciles de aprender. De hecho, estos sistemas tienen menos irregularidades que el del español. Quizá la familiaridad hace que no nos demos cuenta de que, en el sistema del español, los números once, doce, trece, catorce y quince son irregulares. En estos números se sustituye a diez por ce, a cuatro por cator y a cinco por quin. Además, son los únicos en los que se le suma a un número pequeño uno grande (ej., trece; 3+10).

Otros números irregulares del sistema numérico del español son: veinte, treinta, cuarenta, cincuenta, sesenta, setenta, ochenta y noventa. Si fueran regulares se dirían: dos-diez, tres-diez, cuatro-diez, cinco-diez, seis-diez, siete-diez, ocho-diez y nueve-diez. Y hay más casos; por ejemplo, quinientos (5 100) también es irregular,

ya que si fuera regular se diría cincocientos.

La diferencia más importante entre los sistemas de las seis lenguas que se analizaron sea la forma en la que hacen uso de sus bases multiplicativas. De los sistemas analizados todos, excepto uno siguen una lógica aditiva, en la que las  bases multiplicativas se aprovechan como bases aditivas. Un sistema, el del tsotsil, sigue una lógica diferente. En ellos, la primera base multiplicativa (el 20) se utiliza para expresar pertenencia a una agrupación. Para explicar esto, es importante revisar los números del sistema numérico del tsotsil, del 1 al 19 (Tabla 23)

En la Tabla 23 se puede notar cómo, en tsotsil, todos los números del 1 al 19 concluyen con la partícula b. Se trata de un clasificador numérico que sirve para indicar que lo que se cuenta es indefinido. También se nota que los números del 11

al 19 se forman combinando la partícula lajuneb (10) con la secuencia de lexemas numéricos jun (1), chib (2), oxib (3), chanib (4), jo' ob(5), vakib (6), jukub (7), vaxakib

(8) y baluneb (9).

A partir del número 21 (Tabla 30) se hace evidente que el sistema del tsotsil sigue una lógica numérica diferente a la aditiva-progresiva y de la mayoría de las lenguas mesoamericanas.

Tabla 30. Los números tsotsil del 21 al 38.

1 20 jtob

1→20 (1, 20)	jun xcha´vinik
2→20 (2, 20)	chib xcha´vinik	(2 del 2º 20)
3 → (2, 20)	oxib xcha´vinik	(3 del 2º.20)
4→20 (4, 20)	chanib xcha´vinik	(4 del 2º 20)
5→20 (5, 20)	jo'ob xcha´vinik	(5 del 2º 20)
6→20 (6, 20)	vakib xcha´vinik	(6 del 2º 20)
7→20 (7, 20)	jukub xcha´vinik	(7 del 2º 20)
8→20 (8, 20)	vaxakib xcha´vinik	(8 del 2º 20
9→20 (9, 20)	baluneb xcha´vinik	(9 del 2º 20)
10 →20 (10, 20)	lajuneb xcha´vinik	(10 del 2º 20)

11→20 (11, 20)	buluchib xcha´vinik	(11 del 2º 20)
12→20 (12, 20)	lajchaeb xchavinik	(12 del 2º 20)
13→20 (13, 20)	oxlajuneb xchavinik	(13 del 2º 20)
14→20 (14, 20)	chanlajuneb xchavinik	(14 del 2º 20)
15→20 (15, 20)	jo‟lajuneb xchavinik	(15 del 2º 20)
16→20 (16, 20)	vaklajuneb xchavinik	(16 del 2º 20)
17→20 (17, 20)	juklajuneb xchavinik	(17 del 2º 20)
18→20 (18, 20)	vaxaklajuneb xchavinik	(18 del2º 20)
19→20 (19, 20)	balunlajuneb xchavinik	(19 del 2º 20)

En la Tabla 30 se puede ver que el 20 se expresa como jtob, el cual se forma por los números 1 y 20 (1 20). Los números del 21 al 39 no se forman sumándole a jtob la secuencia del jun (1) al balunlajuneb (19). En lugar de ello se les asocia a estos números con xchavinik (dos hombres).

En el sistema numérico del tsotsil los números del 21 al 39 se expresan como números que pertenecen a la segunda veintena. Así el número jun xchavinik no se entiende como uno más dos-veinte sino como uno del segundo veinte; o, mejor aún, como el uno que forma parte de la segunda veintena. De hecho el fonema x que aparece antes del número xchavinik se utiliza en tsotsil para indicar la pertenencia de algo a una tercera persona.

CAPÍTULO 4. EL APRENDIZAJE DE UN SISTEMA DE NUMERACIÓN

El objetivo de este capitulo es aportar al profesor de Educación Indígena información básica acerca de cómo se da el proceso de aprendizaje de los números.

El aprendizaje de un sistema de numeración, es un proceso de construcción de conocimientos numéricos en el que se involucran varias etapas para construir el concepto número. También debe haber maneras para que se dé este proceso de aprendizaje. Lerner (1996) refiere que una propuesta didáctica para enseñar la numeración, debe ser “…objeto de una investigación didáctica rigorosa que permita elaborar conocimiento sobre la enseñanza y aprendizaje del sistema de numeración en el contexto….” (98) De la cita puede interpretarse que si se quiere enseñar números desde el contexto es importante empezar por algo conocido por el alumno.

Para el caso que se aborda, en los contextos indígenas es común q ue los niños en edad escolar, cuenten de manera oral en su lengua. “Producto cultural, objeto de uso social cotidiano,…” (Lerner, 1996:98) Aún antes de ingresar en la escuela, los niños tienen contacto con objetos y animales, y los que cuentan: cuántos pollos tiene la mamá, al vender plátanos, al ir de compras, entre diversas actividades que  los  niños realizan fuera de la escuela y donde entran en juego objetos que cuentan y el numeral. Los números son un conocimiento abstracto cuya comprensión requiere de la conceptualización de ciertas relaciones lógicas. Los niños acceden a la comprensión lógica del número a partir de diversas experiencias vinculadas particularmente con el conteo. Eso quiere decir, que para que el niño llegue al

concepto numero pasa por diversas etapas de error y acierto hasta que llega a contar en forma oral, memorística y escrita.

4.1    La Guía para el Maestro SEP

La GUÍA PARA EL MAESTRO SEP (1992) dice de número que es una herramienta conceptual creada por el hombre para registrar y conocer, de forma precisa, aspectos funcionales de la vida. Las funciones numéricas deben tomarse en cuenta para el logro del conocimiento numérico. Para ello se sugiere al maestro: que tome  en cuenta situaciones de la vida cotidiana para que el número resulte más accesible si se vincula con situaciones conocidas por los mismos niños. Los niños se valen de los conocimientos numéricos que han adquirido a partir de sus experiencias cotidianas para interpretar las nociones aritméticas.

Lo afirmado en la Guía del Maestro conduce a tomar en cuenta las experiencias de los niños con el conteo. Por esa razón es necesario que los alumnos aprendan los números en su lengua ya que los niños que hablan una lengua indígena cuentan de manera oral con su propia numeración. Su conocimiento del conteo y del nombre de los números está en la lengua que habla un niño indígena. Esas experiencias con el conteo en la lengua indígena son las que se habrá que favorecer  el aprendizaje de los números.

Para tener una idea qué implica aprender los  números se toma cuenta  literaturas que se han enfocado cómo es la construcción lógica de los números y la flexibilidad de uso de los números.

4.2    Aprendizajes de Conteo

Para Bishop (1999: 48) contar desde la perspectiva cultural “…implica muchos aspectos, con sutiles variaciones en los tipos de lenguaje y las formas de representación empleados para comunicar los productos de contar.” Asimismo, este mismo autor, define que contar “…es una actividad humana…” es comprender, entender y explicar el significado de número.

Se puede llegar a la idea clara y lógica del número sin recurrir a maneras de contar. Por ejemplo cuando vemos en un salón de clases veinticinco sillas y la misma cantidad de alumnos, tenemos delante de nosotros dos conjuntos: El de los asientos y el de los alumnos, para que estos dos conjuntos se relacionen si hay veinticinco sillas se necesitan la misma cantidad de alumnos. En este ejemplo encontramos una relación biunívoca. Sin contar podemos determinar si los conjuntos tienen o no igual número de elementos. Si cada asiento está ocupado y nadie está de pie, sabemos sin contar que los dos conjuntos tienen igual número.

Según Vergnaud (1998) el número es “…un concepto, por el cual, existen varios sistemas de escritura…” (pp. 135) y los sistemas de numeración son las estructuras en que se puede definir el concepto número. Para que un numeral del sistema indo- arábigo signifique, se necesita conocer el valor posicional del que se esté hablando. La representación gráfica de un número como nueve (9), en el sistema indo-arábigo puede tener un valor y no puede tener el mismo en base 20. “…el sistema de numeración es un soporte de la conceptualización…” (Vergnaud 1998,135) de número. Eso implica conocer cómo se construye a partir, de distintas herramientas y de contextos numéricos que tiene en contacto el sujeto.

4.3.                Adquisición del conteo

Bermejo y Bermejo (2004) reconocen que el niño aprende primero a contar de memoria o mediante intuición, práctica y refuerzo, antes de comprender los principios básicos del conteo (teoría de las habilidades primero). Ellos además dicen que otros autores, en cambio, defienden que los principios son innatos y guardan el desarrollo de los procedimientos propios de la habilidad de contar (teoría de los principios primero), de modo que la comprensión será anterior a la ejecución correcta del conteo.

La memorización de los números se explica como la manera de repetir constantemente el nombre de los números. En cuanto al aprendizaje de los números, sucede conforme el sujeto va memorizando el nombre de los números y los repite de manera oral y no implica cantidad.

Según los autores el niño posee unas predisposiciones generales que sirven de base para el desarrollo posterior numérico y, por tanto, del conteo, de tal modo, que comprensión y procedimientos se irán desarrollando más o menos paralelamente y en constante interacción a lo largo de la infancia.

Esto autores retoman la teoría de los “principios primero” de Gellman y Gallister (citado en Bermejo y Bermejo 2004) esta teoría que proponen un modelo de contar, formado por cinco principios o componentes de modo que los niños llegarán a contar perfectamente cuando sean capaces de integrar esos principios:

1.      Principio de correspondencia uno- a –uno.

2.      Principio de orden estable.

3.      Principio de cardinalidad o cardinal numérico.

4.      Principio de abstracción.

5.      Principio de orden irrelevante.

Estos autores afirman que los tres primeros principios se refieren a cómo contar, mientras que los dos restantes indican qué se puede contar y cómo contar los objetos de un conjunto. Partiendo de estos principios, estos mismos autores proponen analizar a detalle cómo se da el conteo.

4.2.1      Correspondencia uno-a-uno

Bermejo y Bermejo (2004) reconocen que cuando contamos establecemos correspondencia biunívoca entre los objetos y los numerales utilizados. (Ver Fig. 1)

Fig. 1

Correspondencia entre objetos y numerales

│         │           │             │ 1             2                3                 4

Para eso el primer requisito que necesita el niño para contar correctamente consiste en tener la competencia para construir correspondencias uno-a-uno. Los autores mencionan que según las investigaciones, a partir del primer año, el niño es capaz de construir correspondencias entre conjuntos de entre 1 o 2 elementos, y a lo largo del segundo año lo hará igualmente entre conjuntos de 3 a 4 objetos. Además estos autores afirman que no está bien claro si niños se limitan hacer emparejamiento  entre los objeto, o si además conocen la equivalencia numérica resultante de este emparejamiento entre los dos conjuntos. No obstante la correspondencia entre objetos (ver fig. 2) es más sencilla y precoz en el niño que la correspondencia establecida entre objetos y numerales (ver Fig. 1) Ello explica que el inicio del conteo aparezca algo mas tarde en el desarrollo infantil.

Fig. 2. Correspondencia entre objetos

Los autores toman en cuenta a Fusson (Citado en Bermejo y Bermejo) la ejecución correcta del conteo en el niño no solo supone llevar a cabo una correspondencia sino dos correspondencias simultáneas. Efectivamente, cuando el niño aprende a contar, necesita indicar o incluso a tocar con el dedo cada uno de los objetos que cuenta, de

modo que al “acto de indicación” constituye un elemento necesario del conteo Los autores además dicen que un acto de indicación deja de ser necesario cuando el niño es mayor o en los adultos, que se transforma entonces en movimientos de cabeza o dirección de la mirada. La presencia del acto de indicación en el aprendizaje del conteo implica la ejecución de dos correspondencias. (Ver Fig. 3) (Acto de indicación representado por una flecha). Una correspondencia está formada por los objetos (estrellas) y los actos de indicación (flechas), denominada correspondencia espacial y la segunda está construida por los actos de indicación y los numerales (correspondencia temporal).

Ello significa que el aprendiz tiene que coordinar adecuadamente ambas correspondencias para que el conteo sea correcto, de modo que la violación de cualquiera de ellas dará lugar a una serie de errores. A continuación se presenta los análisis

Figura 3. Dos tipos de correspondencia

Dos tipos de correspondencia

correspondencia                                              espacial                ↑            ↑           ↑           ↑ correspondencia      1                 2              3              4 temporal

Errores típicos del conteo

Según Bermejo y Bermejo (2004), el análisis del comportamiento de los niños cuando están aprendiendo a contar muestra la aparición de una serie de errores típicos interesantes que pueden afectar a la correspondencia espacial, a la temporal, o a las dos. Entre los errores que violan la correspondencia espacial y destacan las siguientes:

1.      Omisión de objetos, de modo que no son señaladas ni etiquetados con un numeral (ver Fig.4)

Fig. 4

Ejemplo de error espacial de omisión

Objetos
Señalamientos	↑	↑	↑	↑
Etiquetación	1	2	3	4

2.      Repetición de objetos, que son señalados y etiquetados más de una vez. (ver Fig. 5)

Fig. 5

Error espacial de repetición

Objetos:
Señalamientos:	↑	↑	↑↑	↑	↑
Etiquetación;	1	2	3 4	5	6

3.      Señalamiento y etiquetación de un lugar vacío entre dos objetos (Ver Fig. 6)

Ver Fig. 6 Ejemplo de error espacial

Objetos:
Señalamientos:	↑	↑	↑	↑	↑	↑
Etiquetación;	1	2	3	4	5	6

Entre los errores que afectan la correspondencia temporal se destacan los siguientes:

1.              Se omite la etiqueta de un objeto correctamente señalado. (ver Fig. 7)

Fig. 7

Ejemplo de error temporal de omisión

Objetos:
Señalamientos:	↑	↑	↑	↑	↑
Etiquetación;	1	2	3		4

2.              Se asignan dos etiquetas a un objeto correctamente señalado (ver Fig.8 )

Fig.8

Ejemplo de error temporal de repetición

Objetos:
Señalamientos:	↑	↑	↑	↑	↑
Etiquetación;	1	2	3	4 5	6

3.              Emisión de un numeral o etiqueta sin objeto ni acto de indicación referencial (ver Fig.9 )

Fig.9

Ejemplo de error temporal

Objetos:
Señalamientos:	↑	↑	↑		↑
Etiquetación;	1	2	3	4	5

4.              Fraccionamiento de un numeral entre dos objetos y actos de indicación. (ver Fig. 10)

Fig. 10

Ejemplo de error temporal

Objetos:
Señalamientos:	↑	↑	↑	↑	↑
Etiquetación;	1	2	TRE	ES	4

Los errores duales son aquellos que transgreden simultáneamente las dos correspondencias espacial y temporal.

1.      Se señala mas de una vez un objeto asignándole una sola etiqueta o numeral (ver Fig.11)

Fig.11 Ejemplo de error dual

Objetos:
Señalamientos:	↑	↑	↑↑	↑	↑
Etiquetación;	1	2	3	4	5

2.      Se señala dos veces un objeto sin asignación de etiqueta (Ver Fig. 12)

Fig. 12 Ejemplo de error dual

Objetos:
Señalamientos:	↑	↑	↑	↑↑	↑
Etiquetación;	1	2	3		4

3.      El niño señala de manera irregular los objetos, al tiempo que emite numerales sin conexión con los actos de señalar, ni con los objetos. (ver Fig. 13)

Fig. 13 Ejemplo de error dual

Objetos:
Señalamientos:	↑	↑	↑	↑
Etiquetación;	1		2        3	4

4.      Los niños mas pequeños hacen un gesto rasante a lo largo de la hilera de objetos, emitiendo simultáneamente y de manera continua un conjunto de numerales (ver Fig. 14)

Fig. 14 Ejemplo de error dual

Objetos:
Señalamientos:
Etiquetación;	1	2	3	4	5    6

Los mismo autores afirman que finalmente aparecen otros errores que consisten en que los niños cuentan dos veces dos o más objetos, tal como ocurre, por ejemplo,

(Fig. 14) Aquí el niño vuelve hacia atrás para contar un objeto olvidado, contando de nuevo los dos últimos objetos.

Además toman en cuenta lo dicho por Fusson (citado por Bermejo y Bermejo 2004) que la frecuencia de errores no es la misma en los niños de modo que suelen aparecer mas errores que la correspondencia espacial que en la temporal. Según Bermejo y Bermejo (2004) que no son de fácil explicar las causas de los errores. Algunos autores han supuesto que mucho de ellos puedan deberse a la aplicación por los niños de patrones de correspondencia evolutivamente anteriores a la correspondencia biunívoca, como son las correspondencias una-a-muchos y muchos-a-uno (ver Fig. 15)

Fig.15

Correspondencia uno-a-uno-a-muchos-a-uno

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