Matematicas en eyuuk ,etnomatematicas,matematicas en lenguas indigenas
UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONAL
Unidad Ajusco
SECRETARÍA ACADÉMICA COORDINACIÓN
DE POSGRADO MAESTRÍA EN DESARROLLO EDUCATIVO
La enseñanza de la numeración de
los pueblos originados de México. Recursos para apoyar al profesor de Educación
Intercultural Bilingüe.
Tesis:
Qué„ para obtener el grado de
maestra en Desarrollo Educativo en la línea de formación de Educación
matemática Presenta:
Norma Filomena Martínez Jiménez
Director de tesis Dr. José Luis Corüna Morfin
México. D. F.
Abril de 2013
Reconocimiento
A la madre tierra y al
oreadoirpor la fuera que me dio para culminar esta etapa de formación y de mí
como
mujer.
Éskuyajtép nmeep ya’t éxpekpa
xe’atypy José Liis Cortina y Morfin. Ojts ja'a vwején kajen xmo'oy. Ka’t ja'a
ojts tpénniay pén njatypyets ék ka’t meét ja éxpéjkén. Ojts xkápjqotmekja’a.
Extern tu’uk éxpejkpa ja'ayen.
De manera especial reconozco al
Doctor José Luis Cortina Morfin. Primero porque me dio su confianza para
realizar mis estudios de maestro en esta Universidad Pedagógica Nacional.
Además, recibí su apoyo
incondicional en la construcción de esta tesis, siempre tuvo una paciencia en
mí, en los errores que encontró en la redacción de este escrito. Y eso
contribuyó a que lo que estaba escribiendo fuera coherente y claro.
A él, con mucha sinceridad mis
reconocimientos, de antemano sé, que son pocos los asesores que confiaron en mí
para permanecer en la maestría y en particular: en la Ihea de educación
matemática.
Gracias doctor.
A CONACYT, institución que me
apoyo económicamente para realizar mis estudios de posgrado.
Agradecimientos
A la profesora Petrona Mójica
Nuñez, Por su valiosa colaboración para hacer realidad el uso de los recursos didácticos que se proponen en esta
tesis. Profesora que me dio la oportunidad de trabajar con sus alumnos.
A los niños y niñas de Tercer
grado de la Escuela Primaria Bilingüe “Ignacio Zaragoza" de la comunidad
de Tierra Blanca Mixe, Oaxaca
Al profesor Efraín Jiménez
Virginia Director de la Escuela Primaría “Ignacio Zaragoza y a las autoridades
educativas de la misma escuela y comunidad.
A mis maestras y maestro: Dra.
Mariana Saiz Roldan, Mtra. Alicia Lily Carvajal Juárez, Mtra. Edda Jiménez de
la Rosa y al Dr. Rodrigo Cambray. Gracias por su apoyo en esta trayectoria
académica.
A la Maestra Marcela Tovar Gómez
y al Doctor Antonio Carrillo Avelar por sus observaciones y lectura a esta
tesis.
A mis compañeros de generación de
la línea de Educación Matemática: de manera especial a Jhosep.
A Claudia, Fanny, Porfirio, Érica,
Erika Isabel, Marieta y Martha. Me dio gusto estar con ustedes y agradezco su
apoyo moral.
En especial al Maestro Juan Clímaco
Gutiérrez Díaz, por sus observaciones y sugerencias en la corrección de la
escritura en la lengua que hablo: el éyuujk
A todos ellos gracias.
Dedicatoria
A mis hijos con mucho amor:
Gustavo, Niel, Francisco, Adriana, Diego, Gabriela y Luis, quiénes fueron y son
mi motivo para culminar mis estudios y continuar caminando en el muido del
estudio.
En especial, a Daniel por caminar
conmigo como mujer, profesionista y madre. Te quiero mucho
A Georgina Jiménez Nicolás.
Gracias madre por tu amor y paciencia.
A mis hermanos: Jorge y Judith.
A Urbano por su apoyo moral con
mis hijos.
+ A mi hermano Luis Javier por
sus palabras de aliento en mi formación profesional. Llevo en mi mente tus
palabras.
Con cariño a Elvia Marisol,
Melania y Sergio. Por sus atenciones y apoyo durante mi estancia en la
Universidad Pedagógica Nacional.
INDICE
Página
INTRODUCCIÓN............................................................7
CAPÍTUL01. METODOLOGÍA DE
INTERVENCIÓN_________________________________12
1.1 Objetivos de la
intervención.......................................12
1.2 Etapas del
Estudio................................................12
1.3 Contexto Escolar..................................................18
CAPÍTULO 2. FORMACIÓN DOCENTE Y
TRAYECTORIA LABORAL DE LA
AUTORA.................................................................19
2.1 Formación
docente.................................................19
2.2 Formación de profesores...........................................21
CAPÍTULO 3. ASPECTOS GENERALES DE
LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN DE LAS LENGUAS: EL CASO DEL ËYUUJK.....................................23
3.1 Lexemas
numéricos..................................................25
3.2 Operaciones
aritméticas...........................................27
3.2.1 Bases aditivas...............................................28
3.2.2 Bases multiplicativas........................................31
3.3 Irregularidades...................................................39
3.4 Cosmovisión
numérica..............................................40
3.5 Clasificadores
numéricos..........................................41
3.6.1 Bases multiplicativas........................................44
3.6.2 Bases aditivas...............................................46
3.6.3 Clasificadores numéricos.....................................59
3.6.4 Irregularidades..............................................60
CAPÍTULO 4. EL APRENDIZAJE DE UN
SISTEMA DE NUMERACIÓN_________________64
4.1 La Guía para el Maestro
SEP.......................................65
4.2 Aprendizajes de
Conteo............................................66
4.3 Adquisición del
conteo............................................67
4.2.1 Correspondencia uno-a-uno....................................68
4.2.2 La secuencia de numerales....................................78
4.2.3 Cardinal numérico............................................81
4.2.4 Principio de abstracción....................................84
4.2.5 Irrelevancia del orden.......................................84
CAPITULO 5. ACTIVIDADES PARA
APOYAR EL APRENDIZAJE DE LA NUMERACIÓN
INDIGENA....................................................89
5.1 Diagnóstico del grado de bilingüismo de los
alumnos...............90
5.2 Las actividades
orales..............................................92
5.2.1 Pin Pon progresivo (Actividad adaptada de Wright, Martland,
Stafford, y
Stanger,
2006)........................................................92
5.2.2 Pin
pon regresivo: Actividad adaptada de Wright, Martland, Stafford, y
Stanger,
2006)........................................................96
5.2.3 Elmemorama.....................................................98
5.3 Actividades escritas................................................100
5.3.1 Relato de un
cuento............................................101
5.3.2 Los numerales
mayas...........................................104
5.3.3 La tabla numérica.............................................109
5.4 Los numerales mayas, un recurso para enseñar la numeración
de los
pueblos
originarios.....................................................112
5.4.1 Que son los numerales
mayas....................................113
CONCLUSIONES..... REFERENCIAS______
...........................115
...........................120
ANEXOS.........................................................123
INDICE DE FIGURAS
Figura 1. Correspondencia entre
objetos y numerales..................... 68
Figura 2. Correspondencia entre
objetos................................. 69
Figura 3. Dos tipos de
correspondencia.................................. 70
Figura 4. Ejemplo de error
espacial de omisión.......................... 71
Figura 5. Error espacial de
repetición.................................. 72
Figura 6. Ejemplo de error
espacial..................................... 73
Figura 7. Ejemplo de error
temporal de omisión.......................... 73
Figura 8. Ejemplo de error
temporal de repetición....................... 73
Figura 9. Ejemplo de error
temporal..................................... 74
Figura 10. Ejemplo de error
temporal.................................... 74
Figura 11. Ejemplo de error
dual........................................ 75
Figura 12. Ejemplo de error dual........................................
75
Figura 13. Ejemplo de error
dual........................................ 76
Figura 14. Ejemplo de error
dual........................................ 76
Figura 15. Correspondencia de uno-a-uno-a-muchos-a-uno..................
77
Figura 16. Ejemplo de lista
idiosincrásica.............................. 78
Figura 17. Secuencia de conteo
hacia atrás.............................. 83
Figura 18.
Memorama..................................................... 98
INDICE DE FOTOGRAFIAS
Foto
1.....................................................................18
Foto
2.....................................................................87
Foto
3....................................................................102
Foto 4....................................................................105
Foto
5....................................................................109
Foto
6....................................................................111
INDICE DE TABLAS
Tabla 1. Números ëyuujk del 1 al
5................................... 25
Tabla 2. Los números ëyuujk del 6
al 9............................... 26
Tabla 3. La suma en los números
ëyuujk del 6 al 9.................... 27
Tabla 4. Los números del 111 al 115....................................
28
Tabla 5. Los números del 11 al
15...................................... 29
Tabla 6. Los números del 16 al
19...................................... 29
Tabla 7. Los números del 1 al 19.......................................
30
Tabla 8. Los múltiplos de 20 en
el sistema numérico del éyuujk....... 32
Tabla 9. Los números ëyuujk del
21 al 39............................. 32
Tabla 10. Los números ëyuujk del
41 al 59............................... 34
Tabla 11. Los múltiplos de 100 al 900 en el sistema numérico éyuujk... 35
Tabla 12. Los números del 101 al 119.................................... 26
Tabla 13. Los números del 121 al 139.................................... 28
Tabla 14. Las lenguas cuyos
sistemas numéricos fueron analizados..... 43
Tabla 15. Bases
multiplicativas...................................... 44
Tabla 16. Múltiplos de 100 al 900
de la numeración chinanteca........ 46
Tabla 17. Las seis lenguas
agripadas según las bases aditivas que utilizan,
adicionalmente a la base
miitiplicativa multiplicativas........ 47
Tabla 18. Los números mazatecos
de! 1 al 19.......................... 43
Tabla 19. Números rnixes de la
variante media........................ 49
Tabla 20. Los números mixtecos
del 1 al 19........................... 49
Tabla 21. Los números del zapotero del 1 al
19......................... 50
Tabla 22. Los números éyuujk (mixe alta) del 1 al
19................... 51
Tabla 23. Los números batsi' k'op (tsotsil) del ux) al
diecinueve...... 52
Tabla 24. Los números chinantecos del 1 al
19.......................... 54
Tabla 25. Los números chinantecos del 20 al
29......................... 55
Tabla 26. Los números chinantecos del 30 al
39......................... 56
Tabla 27. Los números chinantecos del 40 al 49.........................
57
Tabla 28. Los números chinantecos del 50 al
59......................... 58
Tabla 29. Los números chinantecos del 80 al
89......................... 59
Tabla 30. Los números tsotsil del 21 al
38............................. 62
Tabla 31. Número
17..................................................... 88
Tabla 32.
Ejercicio.................................................... 108
Tabla 33. Tabla
numérica............................................... 110
Tabla 34. Numeración maya.............................................
113
INTRODUCCION
En esta tesis se reporta el
resultado de un trabajo de intervención pedagógica que fui construyendo a lo
largo de mi formación académica. La línea de Investigación de Educación
Matemática, de la Maestría en Desarrollo Educativo, me proporcionó elementos
teóricos y metodológicos para enseñar la numeración de los pueblos originarios
de México. La finalidad del presente trabajo es proporcionar un material de
apoyo para el profesor de Educación Primaria Intercultural Bilingüe.
Mi estancia en la Universidad
Pedagógica Nacional, unidad Ajusco, duró un periodo de dos ciclos escolares
(2010-2011/2011-2012). Las actividades académicas se realizaron de acuerdo al
mapa curricular del Programa de la Maestría. En este tiempo tuve la oportunidad
de crecer académicamente; conocí la complejidad que hay en el conocimiento
universal de las matemáticas. De igual forma, aprendí más sobre la enseñanza y
aprendizaje de las matemáticas en educación básica; así también, de los
términos y conceptos matemáticos que explican este conocimiento abstracto.
La intención de la presente tesis
es compartir las experiencias académicas con los compañeros de Educación
Indígena; experiencias sobre cómo enseñar con pertinencia los sistemas de
numeración de los pueblos originarios. Las exigencias que representa la
enseñanza en escuelas indígenas me motivaron a aventurarme en este trayecto
académico.
Las necesidades educativas en el
Subsistema de Educación Indígena son múltiples. En mi recorrido académico quise
hacer una aportación a los profesores; una aportación que incluyera el
desarrollo de estrategias didácticas para abordar la enseñanza de la numeración
de los pueblos originarios. A pesar de enfrentar situaciones personales que en
el camino se fueron presentando, no me rendí y pude concluir el trabajo. Esta
tesis tiene, además, otra finalidad: obtener el grado de Maestra en Desarrollo
Educativo.
La tesis se divide en cinco capítulos, cada uno de los cuales aporta algo
distinto a la finalidad principal de la misma Se incluye también una sección de
conclusiones, otra las referencias
bibliográficas y algunos anexos. A continuación se describe cada uno de los
apartados de la tesis.
El primer capítulo se denomina
Metodología de Intervención'. En éste se describe cómo se diseñó y analizó la
intervención pedagógica. Se hace referencia a la metodología de investigación
acción como la forma de hacer una intervención pedagógica para dar solución a
un problema de enseñanza suscitado en el salón de clases.
El segundo capítulo se llama “Qué
motiva abordarla importancia de la enseñanza de la numeración de los pueblos
originarios.” En éste se relata la trayectoria académica y profesional de quién
escribe esta tesis: el recorrido que realicé en los diferentes niveles
educativos para llegar a la profesionalización y algunas de mis experiencias en
el ámbito laboral. La experiencia incluye mi trabajo realizado con niños y profesores.
De esas prácticas surgió el deseo de indagar sobre la enseñanza de la
numeración de los pueblos originarios La experiencia profesional de quien
escribe esta tesis incluye varios talleres impartidos a profesores del
subsistema de Educación Indígena y una clase muestra, desarrollada con niños y
niñas de sexto grado dirigida a profesores y profesores de la Jefatura de Ayutla,
Oaxaca. Las actividades realizadas se describen en la segunda parte del
capítulo. Se considera que éstas serían útiles para el desarrollo futuro de una
propuesta pedagógica. En los talleres y la clase muestra se usaron materiales
que se proponen como recurso didáctico y que se describen en el Capítulo 5.
El segundo capítulo busca también
dar testimonio de las condiciones en las que se forma un docente indígena. Esta
información les servirá a los lectores especialistas en Educación Matemática
que no están familiarizados con la educación indígena.
El capítulo tres se refiere a
“Aspectos generales de los sistemas de numeración de las lenguas: el caso del
éyuujk". Este apartado trata de cómo se construye un sistema de
numeración, la estructura que existe en un agrupamiento de base veinte, y de
cómo se dan las bases aditivas y multiplicativas en una estructura numérica. Se
toma como ejemplo de análisis la numeración de la lengua ëyuujk de la variante
de Tamazulápam del Espíritu Santo, Mixe, Oaxaca. Se explica sobre las
irregularidades que se encuentran en un sistema de numeración, de los
clasificadores numéricos que se encuentran en algunas lenguas mesoamericanas y
de las similitudes y diferencias que hay entre algunos sistemas de numeración
de las lenguas indígenas de México.
Para ver esas similitudes y
diferencias, se analizaron siete lenguas y sus numeraciones. Las numeraciones
de los pueblos indígenas están constituidas en base veinte, una similitud clara.
Las mayores diferencias entre estos sistemas se notan en las agrupaciones de la
primera veintena. Se hace un análisis y se describe la construcción de cada
numeración, las bases internas aditivas que hay en la primera veintena. El
conocer la estructura de un sistema de numeración permitirá entender mejor cómo
está construido un sistema de numeración.
En el capítulo cuatro, se
describe cómo es el aprendizaje de los números. En esta parte se explica qué
implica contar; qué dice la SEP para abordar la enseñanza de los números,
además cómo se da la adquisición del conteo planteada por Bermejo y Bermejo
(2004).
El capítulo cinco se denomina Las
actividades para apoyar el aprendizaje de la numeración indígena el objetivo de
este capítulo es ejemplificar a los docentes cómo podrán abordar la enseñanza
de la numeración de los pueblos originarios en el salón de clases. Para lograr
este objetivo, se describen cada una de las actividades que se realizaron para
sugerir las estrategias que se relatan en este capítulo cinco. En la primera
parte del capítulo, se describe el diagnóstico lingüístico que se realizó a los
alumnos y que permitió conocer el dominio de la lectura y escritura de la
lengua indígena de los alumnos.
Posteriormente, se presentan
materiales que pueden ser un recurso para enseñar la numeración de los pueblos
indígenas: actividades orales y escritas que sean las indicadas. En todas las
actividades que se llevaron a cabo, hubo una secuencia didáctica; en cada una
se utilizó un recurso didáctico diferente.
Asimismo, se dan las conclusiones
y las reflexiones finales con respecto al trabajo de investigación y de la
tesis. Y por último, se presentan los anexos, en los cuales se comentan algunos
documentos normativos, se describen algunos materiales didácticos y se incluye
información sobre los profesores indígenas que aportaron información con
respecto a las numeraciones analizadas en esta tesis.
CAPÍTUL01. METODOLOGÍA DE
INTERVENCIÓN
1.1 Objetivos de la intervención
La instrumentación de la
intervención pedagógica tuvo tres objetivos:
1. Identificar las oportunidades de apoyar a los estudiantes
de un gripo de tercer grado de una Primaría Bilingüe Intercultural Mixe a que
conozcan el sistema de numeración de su primera lengua.
2. Identificar los retos que enfrentarían estos estudiantes
al profundizar en su conocimiento de un sistema numérico diferente al de la
lengua dominante.
3. Favorecer que los estudiantes Mixes de Tierra Blanca se
identificaran y reconocieran el sistema de numeración oral ëyuujk como un sistema
de cuantificación propio.
1.2 Etapas del Estudio
Este trabajo de intervención
comprendió tres etapas.
Primera etapa: Análisis del
sistema de numeración ëyuujk y revisión del Programas de Estudio 2009
oficiales.
El análisis del sistema de numeración
éyuujk, de carácter vigesimal, tuvo el objetivo de entender cómo funcionaba y
cuál era su estructura para enseñarlo en un contexto escolar. El sistema de
numeración ëyuujk se expresa oralmente por lo que se adoptó una metodología de
análisis lingüístico para entender cómo estaban estructuradas las expresiones
numéricas del sistema. La metodología se basó en las
Generalizaciones de los Sistemas
Numéricos de Greenberg (1990). En cuanto a la revisión de los documentos
oficiales, se revisó el Programa de estudio vigente.
Segunda etapa: El diseño de la
intervención.
La segunda etapa del trabajo
consistió en diseñar la intervención. Los objetivos y las actividades de
aprendizaje fueron planteados como un acercamiento al diseño de enseñanza
propuesto por Cobb y McCIain (2004). Estos autores proponen el diseño de
enseñanza como un sistema de actividades productivas de aprendizajes en la
clase. Éste consiste en proporcionar a los docentes los recursos necesarios
para guiar el desarrollo de la clase donde los estudiantes desarrollen sus
ideas participando en las actividades de aprendizaje y así vayan contribuyendo
a la evolución de su propio entendimiento.
El diseño de enseñanza que
llevaron a cabo Cobb y McCIain (2004) tuvo el propósito de apoyar a estudiantes
en su razonamiento sobre estad ética, específicamente en el análisis de datos
uni variables. El diseño fue dirigido al trabajo en el aula escolar con
estudiantes de 12 años de edad en Estados Unidos. Esta experiencia implicó
ciclos estrechamente integrados entre el diseño para la enseñanza y el análisis
del aprendizaje de los estudiantes lo cual retroalimentó el diseño de la
enseñanza. Esta experiencia los llevo a proponer los siguientes principios de
diseño de enseñanza para el razonamiento sobre estadística:
1. El enfoque en las ideas centrales de estadística
2. Las actividades de enseñanza
3. La estructura de la actividad del aula
4. Las herramientas basadas en la informática que usan los
estudiantes
5. El discurso en el aula
A continuación se describe
brevemente en qué consisten cada uno de estos principios y se especifica cómo
fueron retomados y adaptados de manera general para diseñar la intervención
pedagógica basada en el aprendizaje de los estudiantes del sistema de numeración
ëyuujk.
1. El enfoque en las ideas centrales de estadística: Cobb y
McCIain destacan la importancia de comenzar el proceso de diseño mediante la
identificación de las "grandes ideas" que están en el corazón de la
disciplina que tienen un valor perdurable más allá del aula, y que ofrecen un
potencial para involucrar a los estudiantes.
En el caso de la intervención,
con base en el análisis lingüístico del sistema, se reconocieron las
principales agrupaciones que los estudiantes deberán de reconocer y comprender.
En otras palabras, estas agrupaciones que se describen en Capítulo 3, fueron
consideradas como 'las grandes ideas" que tendrían que ser comprendidas
por los estudiantes.
2. Las actividades de enseñanza: En esta parte, Cobb y
McCIain propusieron que las características de las actividades de enseñanza por
un lado desarrollaran en los estudiantes el espíritu de investigación en el
análisis de los datos estadísticos para que los vieran como un objetivo
realista y lo consideraran legítimo. Por otro lado, que las actividades
permitieran a los profesores lograr sus agendas educativas basados en los
argumentos que los estudiantes van produciendo; es decir, que los análisis de
los estudiantes constituyan un recurso para que el maestro inicie y guie las
discusiones en la clase.
En este sentido, inicialmente se
diseñaron las primeras sesiones de la intervención, las cuales informaron el
diseño de las sesiones subsiguiente. Se fueron analizando las producciones de
los estudiantes y éstas retroalimentaron el diseño de las siguientes sesiones.
3. La estructura de la actividad del aula: Cobb y McCIain
señalan la importancia del dialogo entre el docente y los estudiantes. Primero
el maestro presentaba el tema, después entre él y los estudiantes delineaban
los aspectos importantes a medir del proceso de la generación de datos
estadísticos. Así, la clase quedó estructurada de la siguiente manera: a) Se
discutía el proceso de generación de datos, b) Con una actividad individual o
en pequeños grupos se analizaban los datos con las herramientas de informática,
c) Se discutía los análisis de los estudiantes entre todo el grupo.
Se retomó esta estructura para
diseñar algunas actividades de la intervención: Se presentar» el tema a los
estudiantes, luego ellos trabajarían individual o en equipo y posteriormente
presentarían su trabajo a todo el guipo para discutir y contrastar sus
respuestas con las de los demás. Todo esto con el objetivo de interactuar con
los estudiantes e identificar los retos o dificultades y los aciertos a los que
se estarían enfrentando en su aprendizaje del sistema de numeración oral ëyuujk.
4. Uso de la herramienta: Cobb y McCIain diseñaron las
herramientas de informática de tal manera que los estudiantes pudieran analizar
los datos y no sólo trabajar con los números. El diseño de las herramientas será
un medio para apoyar la reorganización del razonamiento de los estudiantes
sobre datos estadísticos específicamente del proceso de generación y análisis
de los datos.
En el caso de la intervención, se
diseñaron recursos de aprendizaje sin perder de vista que estos serán un apoyo
en el entendimiento de las agrupaciones del sistema de numeración ëyuujk.
5. El discurso en el aula: Aquí Cobb y McCIain le
confirieron al docente el papel de mediador entre los argumentos sostenidos por
los estudiantes y ‘las grandes ideas” de estadística. Es decir, organizaron
actividades en las cuales los estudiantes pudieran escribir sus análisis para
que el docente los examinara y entendiera las formas en las que los estudiantes
habían razonado los datos estadísticos y así pudieran planificar y mediar las
discusiones sin perder de vista las grandes ideas de estadística. Ésta es una
manera de apoyar el aprendizaje de los estudiantes.
De esta parte se retomó el que la
persona al cargo de la intervención deberá ser la mediadora entre los objetivos
de enseñanza y el razonamiento de los estudiantes en la construcción del
sistema de numeración éyuujk. Así la docente tendría la consigna de asegurarse
por medio de las producciones de los estudiantes lo que habían entendido antes
de pasar al siguiente objetivo de aprendizaje. Otro aspecto es que se tendría
como prioridad capitalizar en el razonamiento de los estudiantes mediante la
previa identificación de las posibles dificultades en el entendimiento del
sistema.
17
Teniendo en cuenta los principios
de diseño de Cobb y McCIain (2004) se diseñó la intervención para apoyar a los
estudiantes en el aprendizaje del sistema de numeración éyuujk.
Tercera etapa: Aplicación y
análisis de los resinados de la intervención.
La premisa en la instrumentación
de la intervención fue cumplir con los objetivos de aprendizaje y no con la
secuencia de actividades. A través de la aplicación de la intervención se
exploró un diseño de enseñanza como un sistema de actividades productivas de
aprendizajes en la clase escolar con base en Cobb y McCIain (2004).
Para la recuperación y
recopilación de datos fueron importantes las siguientes actividades: revisión
de documentos, registro de datos, elaboración de notas de campo, grabación de
clases. Los recursos que se utilizaron en estas actividades fueron: grabadora,
casetes, cuaderno de notas, lápices, cámara fotográfica, recursos didácticos,
papel bond y marcadores.
El análisis de los datos fue de
corte cualitativo, y consistente con la metodología de investigación acción.
Esta metodología según Elliot (1996) tiene como objetivo “...el estudio a una
situación social para tratar de mejorar la calidad de la acción de la misma.”
Es decir, busca soluciones a un problema de enseñanza del propio sujeto que
plantea, indaga y resuelve. El profesor que identifica un problema educativo
indaga para busca la manera de resolverlo. Procura encontrar alternativas de
solución al problema pedagógico.
18
1.3 Contexto Escolar
El trabajo de investigación
acción se realizó en una escuela Primaría Bilingüe Intercultural que lleva por
nombre “Ignacio Zaragoza", C. C. T. 20DPB0644A, institución escolar que se
ubica en un pueblo llamado Tierra Blanca, pertenece al municipio de
Tamazulápam, Mixe, en el estado de Oaxaca (Foto 1).
Alumnos de tercer grado. Tomada
durante la realización de la intervención pedagógica. Foto 1
Foto 1. Tomada por: Norma F. Martínez
Jiménez
El grupo de tercer grado grupo
“A” cuenta con 30 alumnos de los cuales, 12 son niños y 18 niñas. Todos ellos
hablan la lengua éyuujk, lengua que usa toda la comunidad para comunicarse.
19
CAPÍTULO 2. FORMACIÓN DOCENTE Y
TRAYECTORIA LABORAL DE LA
AUTORA.
Este escrito parte de las
experiencias que he venido cosechando a lo largo de mi trabajo como profesora
de educación bilingüe intercultural y como formadora de maestros indígenas en
el Estado de Oaxaca. Lo escribo con la intención de que el lector conozca sobre
el contexto y las necesidades que me llevaron a reconocer la importancia de
elaborar la presente tesis. Comienzo describiendo mi trayectoria académica.
Posteriormente describo algunas de las experiencias que he tenido formando a
mis colegas. Finalmente, presento algunas de las vivencias que me han marcado
en mi paso por la Maestra en Desarrollo Educativo que se ofrece en la UPN.
El objetivo principal de este
capítulo es familiarizar al lector con los retos que implica la docencia en el
sistema educativo bilingüe intercultural, mexicano. En particular, está
enfocado hacia el lector, experto en ecuación matemática, que no ha tenido la
oportunidad de conocer el contexto educativo indígena.
2.1 Formación docente
Comencé la labor como docente
indígena como muchos profesores que en aquella época entrababan a estudiar
después de concluir los estudios de secundaria. Tena quince años. Por la poca
preparación, fue muy difícil enseñar cada contenido escolar del programa de
estudios de educación primaria. Sin embargo, el poder hacerlo se convirtió en
un reto que me motivó a entrar a estudiar el bachillerato pedagógico, en
20
la modalidad semi-escolarizada.
Durante tres años tuve que viajar, cada dos semanas y en períodos vacacionales,
hasta la capital del Estado de Oaxaca. Hacerlo implicaba un largo trayecto, que
comenzaba con una caminata de varias horas hasta el punto de la carretera en el
que pasaba el transporte que me llevaba a la ciudad.
Al concluir los estudios de
bachillerato pedagógico, obtuve una beca que me permitió apartarme de la
docencia, para cursar estudios profesionales en México. Ingresé a la
Licenciatura en Educación Indígena (LEI), en la UPN. Ahí conocí con más proximidad
la problemática que aqueja a la educación indígena.
Antes de ingresar a la LEI creía
que la problemática educativa únicamente se presentaba en mi salón, en la
escuela en que trabajaba y en mi pueblo. Me di cuenta que los problemas
educativos son similares entre los pueblos originarios. Fue durante mis
estudios en la LEI que me surgió el interés por el sistema de numeración de mi
lengua, el ëyuujk, y por saber cómo y por qué deba de ser enseñado.
Como alumna de la LEI conocí
sobre el papel de la interculturalidad en la docencia. Me interesé entonces por
saber cómo sería la interculturalidad en las matemáticas, en participar en la
enseñanza de la numeración. Una serie de preguntas pasaron por mi mente. Las
preguntas que fui haciendo me ayudaron a reconocer que lo que me interesaba era
la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas en el contexto ëyuujk, sobre
todo en relación a la numeración de nuestro pueblo.
Después de haber culminado mis
estudios profesionales, me reincorporé al trabajo docente. Al tiempo que
realicé mi tarea docente, me dediqué a reflexionar sobre mi propia práctica. En
mi aula exploré cómo enseñar los contenidos matemáticos.
21
orientando mi interés hacia la
numeración éyuujk. Entonces noté que la resolución de problemas les resultaba
muy complicada a mis alumnos. También me di cuerda que los estudiantes no
conocen la numeración de su propia lengua.
Compartí mis preocupaciones con
mis compañeros de trabajo, platicamos sobre nuestro trabajo en aula.
Coincidimos en la importancia de enseñar a leer y a escribir nuestra lengua
originaria. Para mí, también era importante no descuidar la numeración éyuujk.
Esta experiencia que relato
refleja el acontecer diario de muchos profesores que trabajan en las
comunidades indígenas de México. Hoy en día, es común que los nuevos maestros
ingresen al sistema, únicamente con estudios de bachillerato. Algunos procuran
profesionalizarse al tiempo que cumplen con su servicio. Otros sólo se quedan
con sus estudios de bachillerato. Esta realidad es poco conocida. Es importante
reconocer que, por lo general, son los profesores que se profesionalizan
quienes realmente toman en cuenta los problemas educativos que hay en los
pueblos indígenas.
2.2 Formación de profesores
Mi experiencia en la educación
bilingüe intercultural no es sólo con niños. También se me han brindado
oportunidades de participar en la formación de mis compañeros profesores. He
tenido la oportunidad de compartirles mis experiencias en cursos y talleres que
he impartido. Con ellos he dialogado sobre la importancia de enseñar la
numeración de las lenguas originarias.
22
En total, entre abril del 2010 y
mayo del 2012, impartí cuatro talleres para profesores jóvenes, hablantes de
diferentes lenguas (ej. mixe, mixteco, zapoteco, zoque y amuzgo). La mayoría de
los profesores contaba sólo con estudios de bachillerato. Se trataba de
docentes que habían heredado una plaza de alguno de sus padres que
recientemente se jubiló del magisterio. En estos talleres me di cuenta que
muchos docentes desconocen el conteo oral de su numeración, la estructura de su
numeración y el nombre de los números después del veinte. También desconocían
el marco normativo que sustenta, el que ese enseñe la numeración de las lenguas
indígenas en las escuelas.
23
CAPÍTULO 3. ASPECTOS GENERALES DE
LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN DE LAS LENGUAS: EL CASO DEL EYUUJK
¿Por qué es importante qué los
profesores conozcan la numeración de las lenguas originarías?
En México, existe un amplio marco
normativo que protege a las lenguas originarías y promueve su desarrollo1. Las
numeraciones originarías, al ser parte de esas lenguas, necesariamente están
protegidas por las leyes, y su desarrollo debe ser promovido. Así como las
lenguas originarías se tienen que promover y fortalecer, así también sus
sistemas de numeración.
En general, las normatividad vigente
nos señalan que es obligación del gobierno, en sus tres niveles, fomentar,
promover, revalorar y desarrollar las lenguas indígenas de México. Además es
responsabilidad del Estado Mexicano elaborar planes y programas de estudio,
dirigidos a los pueblos indígenas, asumiendo un enfoque intercultural, donde se
incluyan los conocimientos propios de cada comunidad indígena. Se considera
herencia cultural a la lengua. Todas las lenguas indígenas tienen un sistema de
numeración, por tal razón, se debe incluir la enseñanza de estos sistemas en
los programas de estudio. De igual forma, los pueblos indígenas tienen el
derecho a recibir una educación Bilingüe Intercultural.
Para los docentes que trabajan en
las comunidades, es obligación del estado garantizar que sepan, entiendan y comprendan
el sistema de numeración de la
1 Este
marco se describe a detalle en el Anexo 1.
24
población donde prestan sus
servicios, para que enseñen a los a niños a reflexionar la lógica de su sistema
de numeración. Los hablantes de lenguas indígenas tienen el derecho de una
educación que se les imparta en la propia lengua y español. En esa práctica y
uso de la lengua se debe incluir el estudio, la lectura y escritura de la
numeración indígena
Por último, las normas permiten
que los propios hablantes hagan propuestas e intervenciones pedagógicas con la
finalidad de favorecer la enseñanza de la numeración como aspecto de la lengua.
Toda esta acción es un derecho que deben ejercer los miembros de un pueblo y
hablantes de la lengua indígena.
Es importante señalar que la
enseñanza de la numeración de la lengua propia da respuesta a la interculturalidad,
que es uno de los tres elementos sustantivos del plan y los programas de
estudio de educación primaria vigentes. También, al enseñar la numeración de
los pueblos originarios, se cumple con uno de los siete propósitos del estudio
de las matemáticas para la educación primaria (ver Anexo 1).
En este capítulo se describen
diferentes aspectos de los sistemas de numeración de algunas lenguas mesoamericanas
de México. Poder reconocerlos es importante para identificar la lógica
cuantitativa en la que se fundamenta un sistema de numeración. Así cómo también
que los docentes indígenas conozcan la estructura numérica de su lengua. En el
primer apartado se habla de la numeración ëyuujk (ejemplo de análisis) y las
características generales que puede haber en un sistema de numeración. Además
se habla de las similitudes y diferencias entre los sistemas de numeración de
algunas lenguas mesoamericanas: chinanteco, mazateco, mixe.
25
mixteco, zapotero, zoque, lenguas
que se hablan en el estado de Oaxaca y el tsotsil del estado de Chiapas.
3.1 Lexemas numéricos
Para expresar cantidades, las
lenguas del mundo utilizan cadenas fonéticas a las que se les conoce como
lexemas numéricos (Barriga, 1998). Estos lexemas pueden ser palabras o partes
de una palabra; por ejemplo, un lexema numérico del español es tres. Este
lexema puede ser usado como palabra (tres) o como parte de una palabra
(veintitrés).
Los lexemas numéricos son
unidades de significado de una lengua que indican cantidad (Barriga, 1998). En
los sistemas de numeración de todas las lenguas del mundo hay algunos números
que se expresan utilizando un solo lexema numérico. En la Tabla 1 se muestran
algunos ejemplos del éyuujk2.
Tabla 1. Números ëyuujk del 1 al
5
1 tu’uk
2 mätsk
3 tëkéëk
4 mëjktaxk
5 mëkoxk
2 El
ëyuujk es la variante del ayuujk que se habla en el noreste del estado de
Oaxaca.
26
En éyuujk, los primeros cinco
números se expresan utilizando un solo lexema numérico. Eso quiere decir que
cada número tiene su propio nombre, el cual no se deriva del nombre de algún
otro número. Algo diferente sucede con los cuatro números siguientes (Tabla 2).
Tabla 2. Los números ëyuujk del 6
al 9
6 tëtujk
7 ëxtujk
8 tuuktujk
9 täxtujk
Los números del tëtujk (6) al täxtujk
(9) se construyen combinando dos lexemas numéricos. En estos números, el lexema
té (1) aparece en tëtujk (6), el lexema jëx (2) en ëxtujk (7), el lexema tuujk
(3) en tuuktujk (8) y el lexema täx (4) en täxtujk (9). En estos números
también aparece el lexema tujk, el cual sustituye a mëkoxjk para expresar 5.
Los números que se muestran como
ejemplos. Únicamente se describen los lexemas numéricos en que pueden estar
constituidos los números de cualquier lengua. En la tabla 7, se presentan los
lexemas numéricos de los números ëyuujk del tu'uk (1) al majktäxrujk (19).
27
3.2 Operaciones aritméticas
En los sistemas de numeración de
las lenguas del mundo, la presencia de dos lexemas numéricos en m número
implica la existencia de una operación aritmética (Barriga. 1998); generalmente
se trata de una suma o de una multiplicación. En el caso de los números ëyuujk del
tëtujk al täxtujk, se trata de la operación de la suma (Tabla 3).
Tabla 3. La suma en los números
ëyuujk del 6 al 9 tëtujk: 1+5
ëxtujk: 2+5
tuuktujk: 3+5
täxtujk: 4+5
En esta tabla (3) únicamente se
presentan ejemplos cómo se construyen los lexemas numéricos del ëyuujk del uno
al nueve. En la tabla 7 muestra cómo se construyen los números del uno al
diecinueve.
En algunas lenguas, las
operaciones aritméticas presentes en los números se marcan fonéticamente. Por
ejemplo, el fonema / indica suma cuando aparece en los números del español
(ej., veint-i-trés; 20+3). En el caso del ëyuujk, se utiliza la cadena fonética
jets 3 para indicar la suma. Esta cadena aparece completa por
3 En
ëyuujk, la palabra jets es una conjunción que realiza una función parecida a la
de la palabra y del español por ejemplo: to'xtëjk jëts yiatëjk, [señoras y señores].
28
primera vez en el número 111 al
115. Únicamente aparece el prefijo jë que se deriva de la palabra jëts (Tabla
4).
Tabla 4. Los números del 111 al
115
mëkepx jë majktu'uk 5 (20) +10+1
mëkepx jë majkmätsk 5 (20) +10+2
mëkepx jë majktëkëëjk 5 (20) +10
+3
mëkepx jë majkmajks 5 (20) +10 +4
mëkepx jë majkmokx 5 (20) +10 +5
Como puede verse (Tabla 4), en ëyuujk
el 100 se expresa utilizando ni solo lexema numérico: mëkepx (100). Los cuatro números subsiguientes se
expresan
combinando este lexema con los
del 11 al 15 (majktu’uk , majkmätsk, majktëkëëjk, majkmajks, majkmokx). Además
aparece jë que es una contracción de la palabra jets para indicarla sima.
3.2.1 Bases aditivas
En las lenguas del mundo, es
común que haya secuencias de números que se construyen aditivamente utilizando
una misma base (Barriga, 1998). Por ejemplo, como ya vimos, en éyuujk, los
números del tëtujk (6) al täxtujk (9) se expresan sumándole al mëkoxk (5;
expresado como tujk ) los números del tu’uk (1) al mëjktaxk (4). Además, los
números del mäjk tu’uk (11) al majkmajks (14) se le suman los
29
números del tu'uk (1) al mëjktaxk
(4) se egresan utilizando como base al mäjk (10) (Tabla 5).
Tabla 5. Los números del 11 al15
Mäjk (10)
Mäjk tu'uk 10+1
Mäjk mätsk 10+2
Mäjk tëkéëk 10+3
Mäjk mäjks 10+4
Mäjk mojkx 10+5
Como vemos, el 15 en ëyuujk se
expresa utilizando dos lexemas numéricos: mäjk mojkx (15).
En los números del 16 al 19
sucede algo parecido (Tabla 6).
Tabla 6. Los números del 16 al
19.
16 Mäjk tuut
17 Majkëxtujk
18 Majktuuktujk
19 Majk tax tujk
30
Los cuatro números subsiguientes
(16 al 19) utilizan el lexema mäjk como base, adicionando los números del tu’uk
(1) al mëjktäxk (4) además sumándole la base tujk (5) Tabla 6
A los números como el tujk (5) y
el mäjk (10) que en el sistema de numeración de una lengua se utilizan como
bases para expresar una secuencia de números, se les conoce como bases aditivas
(Barriga, 1998). El ëyuujk utiliza dos bases aditivas (5, 10) para expresar los
números del 1 al 19 (Tabla 7).
Tabla 7. Los números del 1 al 19.
tu’ujk 1
Mätsk 2
Tëkëëk 3
Mëktaxk 4
Mëkoxk 5
Tëtujk 1+5
Ëjxtujk 2+5
Tuuktujk 3+5
Taxtujk 4+5
mäjk 10
31
mäjk tu’uk 10+1
mäjk matsjk 10+2
mäjk tëkëëk 10+3
mäjk mäks 10+4
mäjk mokx 10+5
mäjk tujt 10+1+5
mäjk ëjxtujk 10+2+5
mäjk tuuktujk 10+3+5
mäjk täxtujk 10+4+5
En la Tabla 7 puede notarse cómo
al tujk (5) le anteceden números que, secuencialmente, incluyen los lexemas
numéricos té (1), mätsk (2), tuujk (3) y mëjktaxk (4). Los números que le
siguen al majk (10) también incluyen secuencialmente a esos lexemas.
3.2.2 Bases multiplicativas
Como ya se mencionó, en los
sistemas de numeración de las lenguas, la combinación de lexemas numéricos
también puede implicar la operación de la multiplicación. Cuando en un sistema
existe un número al que sistemáticamente se le multiplica para expresar otros
números, se trata de una base multiplicativa (Barriga, 1998). En el sistema
numérico del éyuujk, el 20, es una base multiplicativa. Las
32
primeras 4 veintenas se expresan
como una multiplicación de este número (Tabla 8). Además esta base multiplicativa
aparece cuatro veces cada que llega a 100 (ver tabla 11).
Tabla 8. Los múltiplos de 20 en
el sistema numérico del ëyuujk.
E’px 20
Ëxtijkx 40
Tëkipx 60
Mäjktäpx 80
Estos múltiplos del 20 se
utilizan para expresar los números del 21 al 99. Cada uno de ellos se usa para
enunciar los diecinueve números que le siguen. Por ejemplo, al e'px (20) se le
van adicionando los números del tu’uk (1) al mäjktäxtujk (19) para expresar los
números del 21 al 39 (Tabla 9).
También los múltiplos de 20
aparecen en la construcción de los números del 121 al 999. Aparecen después del
lexema numérico mëkeepx. Por ejemplo: matsjk mëkeepx jë tëkipx (2X5X20) y (3X20).
Tabla 9. Los números ëyuujk del
21 al 39
20 e’px 1(20)
21 e’px tu’uk 1 (20)+1
22 e'px matsk 1
(20)+2
33
23 e'px tëkëëk 1 (20)+3
24 e’px mëjktaxk 1 (20)+4
25 e’px mëkoxk 1 (20)+5
26 e'px tëtujk 1 (20)+1+5
27 e’px jëxtujk 1 (20)+2+5
28 e’px tuuktujk 1 (20)+3+5
29 e'px täxrtujk 1 (20)+4+5
30 e'px mäjk 1 (20)+10
31 e’px májk tu'uk 1 (20)+10+1
32 e’px májk matsk 1 (20)+10+2
33 e’px májk tëkëëk 1 (20)+10+3
34 e’px májk maksj 1 (20)+10+4
35 e’px májk mojkx 1 (20)+10+5
36 e’px májk tujt 1 (20)+10+1+5
37 e’px májk jëx tujk 1
(20)+10+2+5
38 e’px májk tuuktujk 1
(20)+10+3+5
39 e’px májk táxtujk
1 (20)+10+4+5
34
En el caso del jétikx (40), se le
van adicionando los números del tu’uk (1) al majk taxtujk (19) para expresar
los números del 41 al 59 (Tabla 10).
Tabla 10. Los números ëyuujk del
41 al 59
40jextikx 2(20)
41 jextijkx tyu’uk 2 (20)+1
42 jextijkx myiatsk 2 (20)+2
43 jextijkx tyekéek 2 (20)+3
44 jextijkx mejktaxk 2 (20)+4
45 jextijkx myékoxk 2 (20)+5
46 jextijkx tyujt 2 (20)+1+5
47 jextijkx jéxtujk 2 (20J+2+5
48 jextijkx tyuuktujk 2 (20)+3+5
49 jextijkx tyaxtujk 2 (20)+4+5
50 jextijkx myiájk 2 (20)+10
51 jextijkx myiájktu'uk 2 (20)+10+1
52 jextijkx myi3]kmatsk 2 (20)+10+2
53 jextijkx myiájktékéek 2 (20)+10+3
54 jextijkx myi3]km3ks 2 (20)+10+4
35
55 jéxtijkx myiájkmojkx 2 (20)+15
56 jéxtijkx myiájktujt 2 (20J+10+1+5
57 jéxtijkx myiájkjéxtujk 2 (20)+10+2+5
58 jéxtijkx myiájktuuktujk 2 (20)+10+3+5
59 jéxtijkx myi3jktaxtujk 2 (20)+10+4+5
En los números de la tercera
veintena (3X20) que es el tékipx (60) al tékipx myiajktáxtujk (79) sucede la
misma operación aritmética. Lo misma forma sucede en la cuarta veintena (4X20)
del majktapx (80) hasta el majktapx tyáxtujk (99).
Otra base multiplicativa del
ëyuujk es el 100. Aparece a partir del 100 al 999. (Tabla
11)
Tabla 11. Los múltiplos de 100 al
900 en el sistema numérico éyuujk
100 tu'ukmékepx 1(5X20)
200 mátskmékepx 2 (5X20)
300 tékéék mékepx 3(5X20)
400 méjktaxkmékepx 4 (5X20)
500 mékoxkmékepx 5(5X20)
600 tétujkniékepx
6(5X20)
36
700 éxtujkmékepex 7(5X20)
800 tuuktujk mékepx 8(5X20)
900 taxtujk mékepx jé tékipx 9 (5X20)
En la Tabla (11) sólo se
presentan los múltiplos de 100. Del mékepx al taxtujkmékepx. Es importante
comentar que para formar los números internos que hay en cada veintena se
realiza la operación aritmética de la tabla 8. Por ejemplo para escribir 356 se
escribe ties de cinco veintes, dos de veintes y diez, uno cinco [3 (5X20) 2
(20) +10+1+5] que se desarrolla hasta el 999.
Los múltiplos de 100 aparecen del
100 al 199. Cada uno de ellos se usa para expresar los ciento noventa y nueve
números que le siguen. Por ejemplo, al mékee’px (5X20) se le van adicionando
los números del tu’uk (1) al májktaxtujk (19) Para expresar los números del 101
al 119 (Tabla 12)
Tabla 12. Los números del 101 al
119
101 méképxtyuuk 5(20)+1
102 méképxmyatsk 5(20)+2
103 méképxtékéék 5(20)+3
104 méképxmyéjktáxk 5(20)+4
105
méképxmyékoxk
5(20)+5
37
106 méképxtyétujk 5(20)+6
107 méképxjéxtujk 5(20)+7
108 méképxtyuuktujk 5(20)+8
109 méképxtyáxtujk 5(20)+9
110 méképxmyajk 5(20)+10
111 méképxjé májktu'ujk 5(20)+11
112 méképxjé májkmatsk 5(20)+12
113 méképxjé májktékéék 5(20)+13
114 méképxjé májkmajks 5(20)+14
115 méképxjé májkmojkx 5(20)+15
116 méképxjé májktujt 5(20)+16
117 méképxjé májkjéxtujk 5(20)+17
118 méképxjé májktuuktujk 5(20+18
119 méképxjé májktaxtujk 5(20)+19
A partir del 121 al 139 se le
agrega múltiplos de 20. Esto sucede en las cuatro veintenas (2X20,3X20,4X20) y
adicionando los números del 1 al 19. (Tabla 13).
38
Tabla 13. Los números del 121 al
139
121 méképx jé e'px tu'uk 5(20)+20+1
122 méképx jé e'px mátsk 5{20)+20+2
123 méképxje e'px tékééjk 5{20)++20+3
124 méképx jé e'px méjkjktaxk 5{20)++20+4
125 méképx jé e'px mékoxk 5{20)++20+5
126 méképx jé e'px tétujk 5{20)++20+6
127 méképx je e'px jéxtujk 5{20)++20+7
128 méképx jé e'px tuuktujk 5{20)++20+8
129 méképx jé e'px táxtujk 5{20)++20+9
130 méképx jé e'px májk 5{20)++20+10
131 méképx jé e’px májktu’uk 5{20)++20+11
132 méképx jé e'px majkmatsk 5{20)++20+12
133 méképx jé e'px majktékééjk 5{20)++20+13
134 méképx jé e'px majkmaks 5{20)++20+14
135 méképx jé e'px majkmojkx 5<20>++20+15
136 méképx jé e'px majktujt 5(20)++20+16
137 méképx jé e'px majkjéxtujk 5{20)++20+17
39
138 méképx je epx májktuuktujk 5{20)++20+18
139 méképx je epx niájktaxtujk 5{20)++20+19
En los números del mátsk mékeepx
tyu'uk 201 al 999 sucede la misma operación aritmética (Tabla 13) solo que los
múltiplos de 100 se le agrega los texemas numéricos mátsk (2) al táxtujk (9)
(Tabla 11).
3.3 Irregularidades
Es común en los sistemas de las
lenguas del mundo el que tengan algunas irregularidades. A veces éstas implican
que existan dos o más cadenas fonéticas para expresar un mismo número. El
sistema numérico del español tiene varios casos; por ejemplo,, diez se expresa
como ce en los números once, doce, trece, catorce y quince. Además, se expresa
como enta en los números cuarenta, cincuenta sesenta, setenta, ochenta y
noventa. Siete se expresa como sete en setenta y setecientos y cinco como quin
en quince y en quinientos. En el caso del éyuujk, como ya se señaló, mékoxk (5)
se expresa como tujk en los números tétujk (6), éxtujk (7), tuuktujk (8) y
taxtujk (9). También el tu’uk (1) se expresa como fé* que se deriva de la
palabra ténepá que significa uno porque se encuentra en algunas expresiones con
ese significado, que es la siembra que se hace cuando se ha echado a perder la
primera siembra y literalmente es té = W -neba = “ya pasó".
40
En ocasiones, las i regularidades
se deben a que los lexemas numéricos se abrevian. Ese es el caso del tekipx
(60), el cual es una abreviación de la expresión tékééjk ep’x (3X20) También es
el caso de mojkx (mekoxk) (5). En el español sucede algo similar con la palabra
ochenta, la cual es una abreviación de la expresión ochoenta. En ocasiones, los
fonemas que forman los diferentes lexemas de ina expresión en lugar de
abreviarse se entrelazan. Ese es el caso del majkmojkx (15) en el que se
mezclan los fonemas que forman la expresión majk(10) mekoxk (5).
En el apartado denominado
similitudes y diferencias de los sistemas de numeración de las lenguas se
explican cómo los sistemas de numeración varían en el tipo y cantidad de
irregularidades que presentan. Por lo pronto, vale la pena mencionar que, en general,
los sistemas de numeración de las lenguas mesoamericanas tienen mucho menos
irregularidades que los de las lenguas europeas dominantes, incluyendo el del
español.
3.4 Cosmovisión numérica
El sistema de numeración de una
lengua encarna aspectos de la cultura y cosmovisión de la gente que lo ha
desarrollado a lo largo de su historia. Algunos de esos aspectos son evidentes
para los usuarios contemporáneos del sistema y otros no, por lo que tienen que
ser conjeturados. En el caso del sistema numérico del ëyuujk (como el de muchas
otras lenguas mesoamericanas), su organización sugiere un fuerte ráculo con el
cuerpo humano.
41
Como ya se explicó, en el sistema
de numeración ëyuujk se utilizan como bases aditivas al 5 y 10 y como base
multiplicativa al 20 y el 100. Su organización se asemeja a la de los dedos en
el cuerpo humano: cuatro extremidades con cinco dedos cada una, veinte dedos en
total. Eso hace que en ëyuujk las cantidades se expresen de manera similar a si
se especificara el número de cuerpos completos, grupo de extremidades y dedos
individuales que se necesitarían para completar cierta cantidad de dedos. Por
ejemplo, para completar 53 se necesitarían los dedos de dos cuerpos completos
(2x20), un grupo de dos extremidades completas (10) y tres dedos más. En
éyuujk, 73 se dice fékipx myiajk tékééjk que traducido literalmente quiere
decir tres-veinte y diez y tres. Los fres veinte (téfdpxl) corresponderían a
los tres cuerpos, el dtez (majk) al grupo de dos extremidades y el tres (eyi) a
tres dedos. Expresado como configuración aritmética queda así; (3x20)1-10+3.
Otra base multipticativa del
sistema numérico del ëyuujk es el moony (400). Este número se constituye de un
solo lexema numérico. El moony se usa sólo para cuantificar cuatrocientas
mazorcas.
3.5 Clasificadores numéricos
La cosmovisión numérica de los
hablantes de una lengua se hace notar cuando en un sistema de numeración se
utilizan clasificadores numéricos. Estos son manifestaciones lingüísticas qite
especifican la naturaleza de los elementos que
42
están siendo cuantificados por un
número. Generalmente aparecen como prefijos o sufijos, en los números, pero
también pueden ser indicados usando un tono particular.
En el ëyuujk que se habla hoy en
día se usan clasificadores numéricos para cuantificar conjuntos y objetos
sueltos. Por ejemplo para una persona que no tiene un pie se le llama pajk
tu'uk que significa literalmente en español (solo tiene un hueso) o para
cuantificar un conjunto de tortillas se le dice tu'uk pájkx, un conjunto de hojas
de milpa para hacer tamales se le designa tu'uk matxy.
Es importante aclarar que el
lexema clasificador indica la clase de las entidades cuantificadas, más no la
naturaleza misma de estas entidades. Así, después del número, con clasificador
incluido, era necesario especificar qué era lo que se contaba (ej. hojas).
El clasificador kijkx se usa para
especificar que lo que se cuenta tiene una forma alineada (ej., surcos,).
Cuando el tuujktujk (8) cuantifica un conjunto de surcos en una parcela, se
expresa como m/tuujktujk kijkx (ocho de lo alineado).
Los sistemas de numeración de
varías de las lenguas mesoamericanas que se hablan en la actualidad utilizan
clasificadores numéricos. Entre ellas está el tsotsil. Es inportante mencionar
que hay lenguas en otras partes del mundo que también los usan (ej., el
japonés).
43
3.6 Similitudes y diferencias entre los sistemas de numeración
de algunas lenguas mesoamericanas.
Este apartado está basado en el
análisis realizado a los sistemas de numeración de seis lenguas que se hablan
en el territorio oaxaqueño4, la mayoría en una o dos variantes y una lengua
indígena que se habla en el estado de Chiapas (Tabla 14).
Tabla 14. Las lenguas cuyos
sistemas numéricos fueron analizados
Lengua Variante
Chinanteco vanante toja
Mazateco Mazatlán Villa Flores
Mxe Variante alta y media de Oaxaca
Mxteco valle y costa de Oaxaca
Tsotsil Variante de San Andrés Lanrainzar
Zapotero Variante sierra norte, sur y del valle
Zoque Variante San Mkjuel Chimatapa
El objetivo es presentar una
descripción de las similitudes y diferencias que puede llegara haber entre los
sistemas de numeración de diferentes lenguas. Es importante
4 Los análisis fueron realizados,
casi todos, con la ayuda de profesores de Educación indígena del estado de
Oaxaca. En el de la lengua tsotsil ayudó un profesor del mismo nivel educativo
y de alumnos de una escuela primaría bilingüe de una colonia llamada Santo
Domingo del municipio de Bochil estado de Chiapas Sus nombres y referencias a
los trabajos que han realizado se encuentran al final de este escrito.
44
mencionar que también puede haber
diferencias en el caso del sistema de numeración de una misma lengua, en como
es utilizado por hablantes de diferentes variantes.
3.6.1 Bases multiplicativas
De acuerdo a las bases multiplicativas
que utilizan, los sistemas de numeración de las lenguas que se analizaron se
dividen en dos grupos (Tabla 2). En el primero se concentran los sistemas que
se asemejan al del tsotsil. En estos sistemas se utiliza al 20 y al 400 como
bases mUtipficativas. En ellos, el 100 se expresa como un múltiplo de veinte:
5x20; por ejemplo, en mixteco (variante bajo de Valles) 100 se dice uu dito.
Traducida literalmente al español, esta expresión dice: cinco veinte; 5x20
(Tabla 15).
Tabla 15. Bases mutipfccativas Bases
multiplicativas
20 y 400 20 y 100 100
mazaieco Cliinanteco
TsoisíI mixe
mixteco
zapoteco
45
Para expresar un número como 156,
en estos sistemas de numeración no se comienza por indicar cuántas centenas
completas lo forman, sino cuántas veintenas. Así, en mixteco 156 se cfcce ¡ñu
áko sa’u in, que traducido literalmente al español significa siete veinte
quince uno, (7x20)+15+1.
En el segundo grupo están las
lenguas cuyos sistemas de numeración utilizan como bases muN plica* vas al 20 y
al 100 (Tabla 15). Ello quiere decir que su organización se parece a la del
mixteco, pero soto hasta llegar al número 99. El cien, en lugar de expresarse
como un múHpto de veinte (5x20), tiene su propio nombre.
En algunas de estas lenguas se
nota que nombran al 100 haciendo un préstamo del español. Por ejemplo, en
mazateco 100 se cfcce jngudentu (1x100).
En las lenguas que usan al 100
como base multiplicativa, los números del 101 al 999 se expresan utilizando al
den como primera base y al veinte como segunda. Así, en zapotea) 156 se dice:
tibigaywa tiopgal txyenu dHkty. Traducida literalmente al español, esta
expresión cfcce: uno cien otro dos veinte otro dieciséis-(1x100)f(2x20)+15+1.
No sucede lo mismo con la
numeración chinanteca que su base multiplicativa es 100 pero se le va agregando
20,10 y 40 (funcionan como bases aditivas). En 156 se dice: inate tolkiá mén
(1x100)f40+10+6 (Literalmente en español un den, cuarenta, diez y seis (Tabla
16).
46
Tabla 16. Múltiplos de 100 al 900
de la numeración chinanteca
100 Braló 1(100)
200 Túnto 2(200)
300 Nénló 3(100)
400 Kiénló 4(100)
500 Irianló 5(100)
600 Lñénió 6(100)
700 Kiúto 7(100)
800 ‘Iñáló 8(100)
900 Néló 9(100)
3.6.2 Bases aditivas
En el sistema de numeración del
español, las bases aditivas son todas múltiplos de 10 (su base multiplicativa).
Asi los números del 1 al 9 se expresan con un soto toxema numérico (uno, dos,
tres, cuatro, cinco, seis, siete, ocho y nueve). El 10 se utiliza como base
aditiva para decir tos números del 1 al 19 (ej., dieciséis, 10+6). El veinte (2x10)
se usa para decir tos números del 21 al 29 (ej., veintiséis: [2x 10J+6). El
treinta se usa para decirlos números del 31 al 39 (ej., teinta y seis, (3
10J+6)
47
En el apartado denominado
operaciones aritméticas se describió cómo el sistema de numeración del ëyuujk funciona
diferente. En este sistema el epx (20) es la base multiplicativa. Si bien sus
múMplos son bases aditivas (ej_, éxtykx tyiaxjk; dos-veinte y cuatro,; ([2 20]+
4), existen otras: el mékoxjk(5), y el májk(10).
Todos los sistemas que se analizaron
utilizan bases aditivas adicionales a la base multiplicativa. Estas bases
aditivas son siempre agrupaciones formadas por iteraciones del cinco (5, 10,
15, 20 o 40). Como mostramos a continuación, los sistemas que se analizaron se
diferencian entre sí en términos de cuáles agrupaciones utilizan (Tabla 17).
Tabla 17. Las seis lenguas
agrupadas según las bases aditivas que utilizan, adicionalmente a la base
muipKcaliva mdtiplcativas
Bases aditivas adicionales
5,10 y 15 10 y 15 5y10 10 10¿0y40
Mazateco Mxteco mixeata Tsotsil Chinannteco
Mxe media Zapoteco
(variante sierra norte y valle de
Oaxaca)
48
Bases aditivas 5,10 y 15
El mixe medio y el mazateco
utilizan al 5, al 10 y al 15 como bases aditivas (Tabla 18).
Tabla 18. Los números mazatecos
del 1 al 19
5 on 10
tie 10+5 tjion
1 jngu 1+5
jion 10+1 tejngu (10+5)+1 tjion jngu
2 jo 7
yatu 10+2 tejo (10+5)+2 tjion jo
3 jian 3+5
jin 10+3 tejón (10+5)+3 tjion jian
4 ñujun 4+5
ñajan 10+4 teñujun (10+5)+4 tjion ñujin
En la Tabla 18 puede notarse
cómo, en mazateco, para expresar los números del 11 al 14 se utiliza la cadena
fonética te, la cual es una abreviación del lexema numérico tie (10). A esta
cadena la acompañan, secuencialmente, los lexemas jngu (1), jo (2), jian (3), y
ñujun (4). Los números del 11 al 14 se expresan caminando el lexema tjion (15)
con esa misma secuencia. En los números del 6 al 9 aparecen algunas
irregularidades. Sin embargo, se nota que una parte del lexema jngu (1)
acompaña al lexema on (5) en la expresión jion (1+5). El jin es una abreviación
de la expresión jianon (3+5). Algo similar sucede con ñajan: ñujun on (4+5).
Los números del mixe de la
variante media al igual que el mazateco utilizan bases aditivas como el 5,10 y
15 (Tabla 19)
49
Tabla 19. Números mires de la
variante media
5 mákoxk 10 má]k 15
mámojkx
1 tu'uk 1+5 Tátujk 10+1 májk tu’uk 15+1 mámojkx tu'uk
2 Matsk 2+5 WMujk 10+2 májk matsk 15+2
mámojkx mátsk
3 Tékéék 3+5 tuuktujk 10+3 májk tékéek 15+3 mámojkx tékéek
4 máktaxk 4+5 Táxtujk 10+4 májk majks 15+4 máktaxjkmámojkx
Entre los sistemas analizados,
existe un gmpo en el que el 5 no se usa como base aditiva pero sí el fOy el 15
(Tabla 17). En este grupo está el sistema de numeración del mixteco (Tabla 20)
Tabla 20. Los números mixtéeos
del 1 al 19
10 uxi 15 sa'in
1 ín 10+1
uxi ín 15+1 sa'in in
2 ui 10+2
uxi ui 15+2 sa'in ui
3 uni 10+3
uxi uni 15+3 sa'in uni
4 kumi 10+4
uxi kumi 15+4 sa'in kumi
5 u’in
6 iñu
7 usa
8 una
9 in
50
En la Tabla 20 puede notarse
cómo, en mixteco, para expresar los números del 1 al 10 se utiliza un solo
lexema numérico. En cambio, para expresar los números del 11 al 14 se combina
el lexema uxi (10) con la secuencia: ín (1), ui (2), uni (3), y kumi (4). Los
números del 16 al 19 se expresan caminando el lexema sa'un (15), con esa misma
secuencia.
El mixe medio y el mazateco
también utilizan el 10 y el 15 como bases aditivas (Tabla 17). Estos sistemas
se diferencian del mixteco en que para expresar al número 15 se utiliza la
combinación 10 y 5. La Tabla 21 muestra el caso del zapoteco:
Tabla 21. Los números del
zapoteco del 1 al 19
10
dxi 10+5 txyenu
1 tiby 10+1 dxitíby 15+1
txyenu ditidy
2tiopa 10+2 dxitiopa 15+2 txyenu
ditiopa
3dxona 10+3 dxidxona 15+3 txyenu
didxon
4 tapa
5 gay 6xopa 7gadxa Oxuna 9gaa 10+4 dxitap 15+4
txyenu ditapa
51
En la Tabla 21 puede notarse cómo
el sistema numérico del zapoteco se asemeja al del mixteco en que para expresar
los números del 1 al 10 se utiliza un solo lexema numérico. También se asemeja
en que en los números del 11 aM4 se utilizan dos lexemas. En ellos aparece el
lexema numérico dxi (10) acompañado de la secuencia dxi (1), tiopa(2), dxona
(3).tapa (4)
Entre los sistemas analizados,
existe un grupo más en el que el 15 no se usa como base aditiva pero sí el 5 y
el 10 (Tabla 7). El sistema del ëyuujk (mixe alta) pertenece a este gnpo (Tabla
17).
Tabla 22. Los números ëyuujk (mixe
alta) del 1 al 19
5
mékoxk 10 majk
1 tu’uk 1+5 tétujk 10+1
majktu'uk
2 májtsk 2+5 éjxtujk 10+2
msjknaOjkts
3 tékéék 3+5 tuuktujk 10+3
majkteDkeCeDk
4 méktaxk 4+5 taxtujk 10+4
majkmakts 10+5 majkmokx 10+(1+5) majktujt 10+(2+5) majkéjxtujk 10+(3+5)
majktuuktujk
10+(4+5) majktaxtujk
52
En la Tabla 22 puede notarse
cómo, en ëyuujk (mixe alta), para egresar los números del 11 al 19 se usa el
lexema numérico majk (10). Lo acompañan los números del tu’ujk (1), al taxtujk
(9). Menos evidente es el hecho de que para expresar los números del 6 al 9 se
utiliza la cadena fonética tujk, la cual sustituye a mékoxk para expresar 5. A
la cadena tujk la preceden, expresados con algunas variaciones y sustituciones,
los lexemas tu’uk (1), májtsk (2), tékéék (3), y méktaxk (4).
Base aditiva 10
Entre los sistemas numéricos
analizados, también hay un gripo que utiliza solamente al 10 como base aditiva
adicional (Tabla 17). El sistema nuiiérico del tsotsil es uno de ellos (Tabla
23).
Además del chinanteco que utiliza
como base aditiva adicional al diez, también los números del tsotsil lo
utilizan. En la tabla 21 se muestran los números del ba'tsi k'op (tsotsil) 11 al
19.
Tabla 23. Los números batsi' k’op
(tsotsil) del uno al diecinueve
10
lajuneb
1 Jun 11 Buluchib
2 Chib 10+2 Lajchaeb
30xib 3+10 Oxlajuneb
4 Chanib
4+10
Chanlajuneb
53
5 Jo'ob 5+10 Jólajuneb
6 Vakib 6+10 Vaklajuneb
7 Jukub 7+10 Juklajunet)
8Vaxakib 8+10 Vaxaklajuneb
9 Baluneb 9+10 Balunlajuneb
Base aditiva 10, 20 y 40
La lengua que usa como base
aditiva 10,20 y 40 es el chinanteco. Para nombrar 43 se dice: tolo nén
(Literalmente en español cuarenta y tres), 40+3. O bien para decir 76 se nombra
tolkiá ts kíu Iñén (literalmente en español setenta y seis), 40+10 y 20+6. En
esta expresión nivnérica se nota con claridad las bases 10,20 y 40 y el lexema
ts es una conjunción.
Como se explica en el ejemplo
este caso no se presenta en las otras ninieraciones que fueron analizadas. En
la estructura interna de la numeración chinanteca del Kíu (20) al Tolkiá ts
Tolo iñí (99) en su operación aritmética se expresa 40+10+40+9 únicamente se
dan operaciones aditivas. A partir del Iñaló (100) y sus múltiplos hasta el Iñíló
999 se ve la base multiplicativa (Tabla 16). El lexema ló es la palabra
numérica que representa 100 y aparece como sufijo en los lexemas numéricos del
100 al 999.
54
En la Tabla 23 puede notarse cómo
todos los números del sistema numérico chinanteco ahí escritos del uno al diez
tienen su propio nombre. Kón (1), (Tún 2), Nén (3), Kién (4), Iñan (5), Iñén
(6), Kiú (7), 7ñá (8), Iñí (9).
Tabla 24. Los números chirantecos
del 1 al 19
10 Kb
1 Kón 10+1 Kb kón
2 Tún 10+2 Kb tún
3 Nén 10+3 Kb nén
4 Kién 10+4 Kb kién
5 Iñan 10+5 kb iñan
6 Iñén 10+6 Kb iñén
7 Kiú 10+7 Kb kiú
8‘Ira 10+8 Kb ‘Ira
9 Iñí 10+9 Kb né
En la Tabla 24 también puede
notarse cómo para expresar los números del 11 al 19 se usa la secuencia del.
Kón (1), (Tún 2), Nén (3), Kién (4), Iñan (5), Iñén (6), Kiú (7), ‘Ira (8), Iñí
(9). A esta secuencia le antecede la palabra Kía (10).
55
La tabla 25 muestra los números
del 20 al 29. Donde la expresión Kíu (20) funciona como base aditiva. Para
construir los números del 21 al 29 se le agregan los lexemas numéricos Kón (1),
(Tún 2), Nén (3), Kién (4), Iñan (5), Iñén (6), Kiú (7), Iñá (8), Iñí
(9)
Tabla 25. Los números china
otéeos del 20 al 29
20 Kíi
20+1 Kíu kón
20+2 Kú tún
20+3 Kíi nén
20+4 Kú kién
20+5 Kú iñan
20+6 Kú iñén
20+7 Kú kiú
20+8 Kú Iñá
20+9 Kíu iñí
56
En la tabla 26 se muestran los
números del Kíukiá (30) al Kíukiá iñí (39). En el cuadro se nota la base 10 y
20. Se le agregan los números del kón (1) al iñí(9).
Tabla 26. Los números chinantecos
del 30 al 39
30 Kíukiá 20+10
31 Kíukiá kón 20+10+1
32 Kíukiá tún 20+10+2
33 Kíukiá nén 20+10+3
34 Kíukiá kién 20+10+4
35 Kíukiá iñan 20+10+5
36 Kíukiá iñén 20+10+6+
37 Kíukiá kiú 20+10+7
38 Kíukiá “Iñá 20+10+8
39 Kíukiá iñí 20+10+9
En la tabla 27 los números
chinantecos del Tolo (40) al tolo iñí (49). A partir de tolo (40) lexema
numérico se le adicionan los números del kón (1) al iñí (9).
57
Tabla 27. Los números chinantecos
del 40 al 49
40 Tolo 40
41 tolo kón 40+1
42 tolo tún 40+2
43 tolo nén 40+3
44 tolo kién 40+4
45 tolo i rían 40+5
46 tolo iñén 40+6
47 tolo kiú 40+7
48 tolo “Ira 40+8
49 tolo iñí 40+9
Los números del tolkiá (50) al
tolkiá Iñí (59) se ven en la tabla 28. Para nombrar tolkiá (50) se construye
del prefijo tolde la expresión tolo (40) y se le agrega kiá (10). En su
representación aritmética se expresa 40+10. Del 51 al 59 se le agregan los
números del 1 al 9 (Tabla 24).
58
Tabla 28. Los números chinantecos
del 50 al 59
50 tolkiá 40+10
51 tolkiá kón 40+10+1
52 tolkiá Tún 40+10+2
53 tolkiá Nén 40+10+3
54 tolkiá Kién 40+10+4
55 tolkiá Irían 40+10+5
56 tolkiá Iñén 40+10+6
57 tolkiá Kiú 40+10+7
58 tolkiá ‘Iñá 40+10+8
59 tolkiá Iñí 40+10+9
En los números del Tolkiá ts
Kíukiá (80) en su expresión aritmética se expresa 40+10+20+10 al Tolkiá ts
Kíukiá ts iñí (89) en su representación aritmética 40+10+20+10+9 se aprecia con
claridad el uso de las bases aditivas 10, 20 y 40 (Tabla 29) se le agregan los
números del 1 al 9 (Tabla 24).
59
Tabla 29. Los números chinantecos
del 80 al 89
80 tolkiá ts Kúkiá 40+10+20+10
81 tolkiá ts Kúkiá ts Kón 40+10+20+10+1
82 tolkiá ts Kúkiá ts Tún 40+10+20+10+2
83 tolkiá ts Kúkiá ts Nén 40+10+20+10+3
84 tolkiá ts Kúkiá ts Kién 40+10+20+10+4
85 tolkiá ts Kúkiá ts Iñan 40+10+20+10+5
86 tolkiá ts Kúkiá ts Iñén 40+10+20+10+6
87 tolkiá ts Kúkiá ts Kiú 40+10+20+10+7
88 tolkiá ts Kúkiá ts "Iñá 40+10+20+10+8
89 tolkiá ts Kúkiá ts iñí 40+10+20+10+9
3.6.3 Clasificadores numéricos
De los sistemas de numeración
analizados (Tabla 17), dos utiliza clasificador numérico. El clasificadores un
recurso utilizado en algunas lenguas para especificar la dase de las entidades
que son contadas o cuantificadas. La forma en la que se manifiesta un
clasificador en los sistemas analizados es diferente.
60
El tsotsil tiene clasificadores
precisos. Dependiendo de la vanante, ewsten clasificadores para indicar el tipo
de ser vivo que se cuenta (persona, animal o vegetal). También para indicar la
forma del objeto contado (ej„, circular, redondo, o alargado, con patas). En
tsotsil, el clasificador aparece como un sufijo (Tabla 23).
3.6.4 Irregularidades
Todos los sistemas de numeración
que analizamos tienen algunas irregularidades. Las más comunes implican que
existan dos o más cadenas fonéticas para expresar un mismo número. Por ejemplo,
en el apartado 3.3 se explico cómo en ëyuujk tanto mékoxk como tujkymojkx
(Tabla 22) se utilizan para expresar 5. En chinanteco, Iñí, y né expresan 9
(Tabla 24)
Otro tipo de inregiiaridad
implica que haya alteraciones en algún patrón cuantitativo. Por ejemplo, en
mazateco, mixe, lo común es que cuando dos números se combinan aditivamente, se
expresa primero el mayor y luego en menor. Sin embargo, en los números del 6 al
9 sucede lo contrario, primero se dice el menor y luego el mayor (Tablas 17 y
22); por ejemplo, en ëyuujk 9 se dice táxtujk que traducido literalmente
significa cuatro-cinco (4+5). De igual forma sucede ron los números del tsotsil
en los números, (Tabla 23), por ejemplo: oxilajuneb (3+10), Jo'lajuneb (5+10),
Vaklajuneb (6+10), JiJdajuneb, (7+10) Vaxaklajuneb (8+10). También hay casos
como el del número Iñí (9) del chinanteco, el único entre el 1 y el 10 que
tiene su propio nombre (Tabla 24).
61
Es importante decir que las
irregularidades presentes en los sistemas de numeración de las lenguas
mesoamericanas no los hacen particularmente difíciles de aprender. De hecho,
estos sistemas tienen menos irregularidades que el del español. Quizá la
familiaridad hace que no nos demos cuenta de que, en el sistema del español,
los números once, doce, trece, catorce y quince son irregulares. En estos
números se sustituye a diez por ce, a cuatro por calor y a cinco por qrün.
Además, son ios únicos en los que se le suma a un número pequeño uno grande
(ej., frece; 3+10).
Otros números irregulares del
sistema numérico del español son: veinte, treinta, cuarenta, cincuenta,
sesenta, setenta, ochenta y noventa. Si fueran regulares se dirán dos-diez,
tres-diez, cuatro-diez, cinco-diez, seis-diez, stetediez, ocho-diez y
nueve-diez. Y hay más casos; por ejemplo, quinientos (5x 100) también es
irregular, ya que si fuera regiiar se dirá cincocientos.
La diferencia más importante
entre los sistemas de las seis lenguas que se analizaron sea la forma en la que
hacen uso de sus bases multiplicativas. De los sistemas analizados todos,
excepto uno siguen una lógica acfitiva, en la que las bases multiplicativas se
aprovechan como bases aditivas. Un sistema, el del tsotsil, sigue una lógica
diferente. En ellos, la primera base multiplicativa (el 20) se utiliza para
expresar pertenencia a una agrupación. Para e)f>licar esto, es importante
revisar los números del sistema numérico del tsotsil, del 1 al 19 (Tabla 23)
En la Tabla 23 se puede notar
cómo, en tsotsil, todos los números del 1 al 19 concluyen con la partícula b.
Se trata de un clasificador numérico que sirve para indicar que lo que se
cuenta es indefinido. También se nota que los números del 11
62
al 19 se forman combinando la
partícula lajuneb (10) con la secuencia de lexemas numéricos jun (1), chib (2),
oxtb (3), chanib (4),jo"ob(5), vakib (6),jukub (7), vaxaktb (8) y baluneb
(9).
A partir del número 21 (Tabla 30)
se hace evidente que el sistema del tsotsil sigue una lógica numérica
cfifeiente a la aditiva-progresiva y de la mayoría de las lenguas
mesoamericanas.
Tabla 30. Los números tsotsil del
21 al 38.
1x20 jtob
1—20(1,20) jun xcha'viník
2—20(2,20) chib xcha'viník (2 del
2* 20)
3 —(2,20) oxib xcha'viník (3
del 2*20)
4-20(4,20) chanib xchavinik (4
del 2* 20)
5-20(5,20) jo'ob xchaviinik (5
del 2* 20)
6-20(6,20) vakib xcha'viník (6
del 2* 20)
7—20 (7,20) jukub xcha'vínik (7 del 2* 20)
8-20 (8,20) vaxakib xcha'vínik (8 del 2o 20
9-20(9,20) baluneb xcha'vínik (9
del 2* 20)
10 -20(10,20) lajuneb xcha'vínik (10 del 2o 20)
63
11-20(11,20) butuchib xchavinik (11 del 2o 20)
12-20(12,20) lajchaeb xchavinik (12 del 2o 20)
13-20(13,20) oxlajuneb xchavinik (13 del 2o 20)
14-20(14,20) chanlajuneb xchavinik (14 del 2o 20)
15-20(15,20) jo'lajuneb xchavinik (15 del 2o 20)
16-20(16,20) vaklajjuneb xchavinik (16 del 2o 20)
17-20(17,20) juklajuneb xchavinik (17 del 2o 20)
18-20(18,20) vaxaldajuneb xchavinik (18det2*20)
19-20(19,20) balunlajuneb xchavinik (19 del 2o 20)
En la Tabla 30 se puede ver que
el 20 se expresa como jtob, el cual se forma por los números 1 y 20 (1x20). Los
números del 21 al 39 no se forman sumándole a jtob la secuencia del jun (1) al
balunlajuneb (19). En lugar de ello se les asocia a estos números con xchavinik
(dos hombres).
En el sistema numérico del
tsotsil los números del 21 al 39 se espesan como números que pertenecen a la
segunda veintena. Así el número jun xchavinik no se entiende como uno más
dos-veinte sino como uno del segundo veinte; o, mejor aún, como el uno que
forma parte de la segunda veintena. De hecho el fonema x que aparece antes del
número xchavinik se utiliza en tsotsil para indicar la pertenencia de algo a
una tercera persona.
64
CAPÍTULO 4. EL APRENDIZAJE DE UN
SISTEMA DE NUMERACIÓN
El objetivo de este capitulo es
aportar al profesor de Educación Indígena información básica acerca de cómo se
da el proceso de aprendizaje de los números.
El aprendizaje de un sistema de
nimeración, es un proceso de construcción de conocimientos numéricos en el que
se involucran varias etapas para construir el concepto número. También debe
haber maneras para que se dé este proceso de aprendizaje. Lerner (1996) refiere
que una propuesta didáctica para enseñar la numeración, debe ser
"...objeto de una investigación didáctica rigorosa que pemiita elaborar
conocimiento sobre la enseñanza y aprendizaje del sistema de numeración en el
contexto... " (98) De la cita puede interpretarse que si se quiere enseñar
números desde el contexto es importante empezar por algo conocido por el
alumno.
Para el caso que se aborda, en
los contextos indígenas es común que los niños en edad escolar, cuenten de
manera oral en su lengua. “Producto cultural, objeto de uso social
cotidiano,...” (Lerner, 1996:98) Aún antes de ingresar en la escuela, los niños
tienen contacto con objetos y animales, y los que cuentan: cuántos pollos tiene
la mamá, al vender plátanos, al ir de compras, entre diversas actividades que
los niños realizan fuera de la escuela y donde entran enjuego objetos que
cuentan y el numeral. Los números son un conocimiento abstracto cuya
comprensión requiere de la conceptúa lización de ciertas relaciones lógicas.
Los niños acceden a la comprensión lógica del número a partir de diversas
experiencias vinculadas particularmente con el corteo. Eso quiere decir, que
para que el niño llegue al
65
concepto numero pasa por diversas
etapas de error y acierto hasta que llega a contar en forma oral, memorrstica y
escrita.
4.1 La Guía para el Maestro SEP
La GUÍA PARA EL MAESTRO SEP
(1992) dice de número que es una herramienta conceptual creada por el hombre
para registrar y conocer, de forma precisa, aspectos funcionales de la vida.
Las funciones numéricas deben tomarse en cuenta para el logro del conocimiento
numérico. Para ello se sugiere al maestro: que tome en cuenta situaciones de la
vida cotidiana para que el número resulte más accesible si se vincula con
situaciones conocidas por los mismos niños. Los niños se valen de los
conocimientos numéricos que han adquirido a partir de sus experiencias
cotidianas para interpretar las nociones aritméticas.
Lo afirmado en la Guía del
Maestro conduce a tomar en cuenta las experiencias de los niños con el conteo.
Por esa razón es necesario que los alumnos aprendan los números en su lengua ya
que los niños que hablan una lengua indígena cuentan de manera oral con su
propia numeración. Su conocimiento del conteo y del nombre de los números está
en la lengua que habla un niño indígena. Esas experiencias con el conteo en la
lengua indígena son las que se habrá que favorecer el aprendizaje de los
números.
Para tener una idea qué implica
aprender los números se toma cuenta literaturas que se han enfocado cómo es la
construcción lógica de los números y la flexibilidad de uso de los números.
66
4.2 Aprendizajes de Conteo
Para Bishop (1999: 48) contar
desde la perspectiva cultural "...implica muchos aspectos, con sutiles
variaciones en los tipos de lenguaje y las formas de representación empleados
para comunicarlos productos de contar.” Asimismo, este mismo autor, define que
contar “...es una actividad humana..” es comprender, entender y explicar el
significado de número.
Se puede llegar a la idea clara y
lógica del número sin recinir a maneras de contar. Por ejemplo cuando vemos en
un salón de clases veinticinco sillas y la misma cantidad de alumnos, tenemos
delante de nosotros dos conjuntos: El de los asientos y el de los alumnos, para
que estos dos conjuntos se relacionen si hay veinticinco sillas se necesitan la
misma cantidad de alumnos. En este ejemplo encontramos una relación biunívoca.
Sin contar podemos determinar si los conjuntos tienen o no igual número de
elementos. Si cada asiento está ocupado y nadie está de pie, sabemos sin contar
que los dos conjuntos tienen igual número.
Según Vergnaud (1998) el número
es “...un concepto, por el cual, existen varios sistemas de escritura...” (pp.
135) y los sistemas de numeración son las estructuras en que se puede definir
el concepto número. Para que un numeral del sistema indo-arábigo signifique, se
necesita conocer el valor posicional del que se esté hablando. La
representación gráfica de un número como nueve (9), en el sistema indo-arábigo
puede tener un valor y no puede tener el mismo en base 20. “...el sistema de
numeración es un soporte de la conceptualización...” (Vergnaud 1998,135) de
número. Eso implica conocer cómo se construye a partir, de distintas
herramientas y de contextos numéricos que tiene en contacto el sujeto.
67
4.3. Adquisición del conteo
Bermejo y Bermejo (2004)
reconocen que el niño aprende primero a contar de memoria o mediante intuición,
práctica y refuerzo, antes de comprenderlos principios básicos del conteo
(teoría de las habilidades primero). Ellos además dicen que otros autores, en
cambio, defienden que los principios son innatos y guardan el desarrollo de los
procedimientos propios de la habilidad de contar (teoría de los principios
primero), de modo que la comprensión será anterior a la ejecución conecta del
conteo.
La memorización de los números se
explica como la manera de repetir constantemente el nombre de los números. En
cuanto al aprendizaje de los números, sucede conforme el sujeto va memorizando
el nombre de los números y los repite de manera oral y no implica cantidad.
Según los autores el niño posee
unas predisposiciones generales que sirven de base para el desarrollo posterior
numérico y, por tanto, del conteo, de tal modo, que comprensión y
procedimientos se irán desabollando más o menos paralelamente y en constante
interacción a lo largo de la infancia.
Esto autores retoman la teoría de
los “principios primero" de Gellman y Gallister (citado en Bermejo y
Bermejo 2004) esta teoría que proponen un modelo de contar, formado por cinco
principios o componentes de modo que los niños llegarán a contar perfectamente
cuando sean capaces de integrar esos principios:
1. Principio de correspondencia uno- a -uno.
68
2. Principio de orden estable.
3. Principio de candinafidad o cardinal numérico.
4. Principio de abstracción.
5. Principio de orden irrelevante.
Estos aütores afirman que los tes
primeros principios se refieren a cómo contar, mientras que los dos restantes
indican qué se puede contar y cómo contar los objetos de un conjunto. Partiendo
de estos principios, estos mismos autores proponen analizar a detalle cómo se
da el conteo.
4.2.1 Correspondencia uno-a-uno
Bermejo y Bermejo (2004)
reconocen que cuando contamos establecemos correspondencia biunrvoca entre los
objetos y los numerales utilizados. (Ver Fig. 1)
Fig. 1
Correspondencia entre objetos y
numerales
ró_ó ó ó
i
1
2
3
4
69
Para eso el primer requisito que
necesita el niño para contar correctamente consiste en tener la competencia
para construir correspondencias uno-a-uno. Los autores mencionan que según las
investigaciones, a partir del primer año, el niño es capaz de construir
correspondencias entre conjuntos de entre 1 o 2 elementos, y alo largo del
segundo año lo hará igualmente entre conjuntos de 3 a 4 objetos. Además estos
autores afirman que no está bien claro si niños se limitan hacer emparejamiento
entre los objeto, o si además conocen la equivalencia numérica resultante de
este emparejamiento entre los dos conjuntos. No obstante la conespondencia entre
objetos (ver fig. 2) es más sencilla y precoz en el niño que la correspondencia
establecida entre objetos y numerales (ver Fig. 1) Ello explica que el inicio
del conteo aparezca algo mas tarde en el desarrollo infantil.
Fig. 2. Correspondencia entre
objetos
ó ó ó ó
Los autores toman en cuenta a
Fusson (Citado en Bermejo y Bermejo) la ejecución correcta del conteo en el
niño no solo supone llevara cabo una correspondencia sino dos correspondencias
simultáneas. Efectivamente, cuando el niño aprende a contar, necesita indicar o
incluso a tocar con el dedo cada uno de los objetos que cuenta, de
70
modo que al "acto de
indicación’’ constituye un elemento necesario del conteo Los autores además
dicen que un acto de indicación deja de ser necesario cuando el niño es mayor o
en los adultos, que se transforma entonces en movimientos de cabeza o dirección
de la mirada. La presencia del acto de indicación en el aprendizaje del conteo
implica la ejecución de dos correspondencias. (Ver Fig. 3) (Acto de indicación
representado por una flecha). Una correspondencia está formada por los objetos
(estrellas) y los actos de indicación (flechas), denominada correspondencia
espacial y la segunda está construida por los actos de indicación y los
numerales (correspondencia temporal).
Ello significa que el aprenáz
tiene que coordinar adecuadamente ambas correspondencias para que el conteo sea
correcto, de modo que la violación de cualquiera de ellas dará lugar a una
serie de errores. A continuación se presenta los análisis
Figura 3. Dos tipos de
correspondencia Dos tipos de conrespondencia
correspondencia Ó Ó Ó Ó
espacial t t t t
correspondencia 1 2 3 4
temporal
71
Errores típicos del conteo
Según Bermejo y Bermejo (2004),
el análisis del comportamiento de los niños cuando están aprendiendo a contar
muestra la aparición de una señe de errores típicos interesantes que pueden
afectara la correspondencia espacial, a la temporal, o a las dos. Entre los
e/rores que violan la correspondencia espacial y destacan las siguientes:
1. Omisión de objetos, de modo que no son señaladas ni
etiquetados con un numeral (ver Fig.4)
Fig.4
Ejemplo de eiror espacial de
omisión
0bietos 6 6 ó ó ó
Señalamientos t t \ t
Etiquetación 12 3 4
2. Repetición de objetos, que son señalados y etiquetados
más de una vez. (ver
Fig.5)
72
Fig. 5
Error espacial de repetición
* ó ó ó ó Ó-
Señalamientos: j I m j I
Etíquetación; 1 2 34 5 6
3. Señalamiento y etíquetación de un lugar vaco entre dos
objetos (Ver Fig. 6)
Ver Fig. 6
Ejemplo de error espacial
6~6~6 ó-Ó"
Señalamientos: t t 1 t t t
Etíquetación; 1 2 3 4 5 6
Entre los errores que afectan la
correspondencia temporal se destacan los siguientes:
1. Se omite la etiqueta de un objeto correctamente señalado,
(ver Fig. 7)
73
Fig.7
Ejemplo de error temporal de
omisión
2. Se asignan dos etiquetas a un objeto correctamente
señalado (ver Fig.8)
Fig.8
Ejemplo de error temporal de
repetición
3. Emisión de un numeral o etiqueta sin objeto ni acto de
indicación referencial
(ver Fig.9)
74
Fig.9
Ejemplo de error temporal
* ó ó ó 6~
Señalamientos: t t t t
Etiquetación; 1 2 3 4 5
4. Fraccionamiento de un numeral entre dos objetos y actos
de indicación, (ver Fig. 10)
Fig. 10
Ejemplo de error temporal
0,,ietos: 6 6 6 6 6
Señalamientos: Y t t t t
Etiquetación; 1 2 TRE ES 4
Los errores duales son aquellos
que transgreden simultáneamente las dos conrespondencias espacial y temporal.
75
1. Se señala mas de una vez un objeto asignándole una sola
etiqueta o numeral (verFig.11)
Fig.11
Ejemplo de error dual
Objetos: “ó ~6~ ó ó'
Señalamientos: t t tt t t
Etiquetación; 1 2 3 4 5
2. Se señala dos veces un objeto sin asignación de etiqueta
(Ver Fig. 12)
Fig. 12
Ejemplo de error dual
* Ó Ó Ó Ó Ó-
Señalamientos: j f I !t I
Etiquetación; 12 3 4
3. El niño señala de manera irregular los objetos, al tiempo
que emite numerales sin conexión con los actos de señalar, ni con los objetos,
(ver Fig. 13)
76
Fig. 13
Ejemplo de error dual
* ó ó ó ó Ó-
Señalamientos: t t t t
Etiquetación; 1 2 3 4
4. Los niños mas pequeños hacen un gesto rasante a lo largo
de la hilera de objetos, emitiendo simultáneamente y de manera continua un
conjunto de numerales (ver Fig. 14)
Fig. 14
Ejemplo de error dual
6 Ó Ó Ó-
Señalamientos: _______________________________________>
Etiquetación; 1 2 3 4 5 6
Los mismo autores afirman que
finalmente aparecen otros errores que consisten en que los niños cuentan dos
veces dos o más objetos, tal como ocurre, por ejemplo,
77
(Fig. 14) Aquí el niño vuelve
hada atrás para contar un objeto olvidado, contando de nuevo los dos últimos
objetos.
Además toman en cuenta lo dicho
por Fusson (citado por Bermejo y Bermejo 2004) que la frecuencia de enores no
es la misma en los niños de modo que suelen aparecer mas enores que la
conespondencia espadaI que en la temporal. Según Bermejo y Bermejo (2004) que
no son de fácil explicar las causas de los enores. Algunos autores han supuesto
que mucho de ellos puedan deberse a la aplicación por los niños de patrones de
conespondencia evolutivamente anteriores a la conespondencia biunívoca, como
son las conespondencias una-a-muchos y muchos-a-uno (ver Fig. 15)
Fíg.15
Correspondencia
ino-a-uno-a-muchos-a-uno
ÓÓÓ a»
NU
A §
J¡¡ •Jo
78
4.2.2 La secuencia de numerales
Bermejo y Bennejo toman en cuenta
el modelo propuesto por Galman y Gallistel que se refiere al Principio del
orden estable donde se establece que la secuencia de etiquetas o numerales debe
ser repetible y estar integrada por etiquetas únicas. Lo primero significa que
el niño sude emplear esta secuencia para contar; y lo segundo hace referencia a
que las etiquetas empleadas no se repiten en la secuencia más de una vez. Por
tanto, la aplicación de este principio sería conecta cuando el niño emplea
secuencias idiosincrásicas que no se ajustan a la secuencia convencional, pero
que respetan las condiciones mencionadas. (Ver Fig. 16). Al mismo tiempo que el
niño aprende la secuencia convencional, suele emplear también listas
idiosincrásicas que le son útiles, personalmente para cuantificar la realidad,
pero que pueden crear problemas en contextos sociales.
Fig. 16
Ejemplo de lista de
idiosincrásica
* Ó ó ó ó'
Señalamientos: t t t t
Etiquetación; 12 4 0
79
Por otra parte los mismos autores
dicen que los niños comprenden muy pronto que el conteo requiere una lista
especial de numerales únicos. Pero la construcción gradual de esta comprensión
supone tres pasos:
a. descubrir que la lista esta constituida solamente por
numerales,
b. que esta lista tíene un orden determinado,
c. y, finalmente, que cada numeral es único y no se repite
en la lista.
En el aprendizaje de la secuencia
convencional de los numerales se han diferenciado dos fases que pueden
solaparse a lo largo del tiempo: adquisición y elaboración o consolidación. En
la fase de adquisición, el niño aprende la secuencia estándar y la utiliza
cuando cuenta, apareciendo frecuentemente errores que se localizan sobre todo
en la parte final de la secuencia. En la adquisición de la secuencia
convencional de numerales según Bermejo y Bermejo se pueden diferenciar tres
partes o fragmentos característicos. La parte inicial, abarca, solo los dos
primeros numerales, es estable y convencional, de modo el niño la usa siempre
que cuenta. La segunda solo hace referencia a los dos siguientes numerales,
sería estable pero no convencional. Finalmente, la última parte no sería
estable, ni convencional, en el sentido de que el niño cambia los numerales
cuando cuenta y no se ajusta a la secuencia convencional.
Según los autores citan a Fusson
(1988) que dice que en la fase de elaboración y consolidación de la secuencia
se distinguen cinco niveles evolutivos en función de la comprensión y el uso
que los niños son capaces de hacer de los numerales:
80
1) El niños solo es capaz de emitir la secuencia de
numerales empezando necesañamente por el 1, como se trata de una unidad sin
diferenciarlo entre los distintos elementos de la secuencia (nivel de hilera o
cuerda).
2) La secuencia aparece como una cadena irrompible, pero
ahora sus elementos o numerales se conciben como diferenciados unos de otros
(niel de cadena irrompible)
3) Nivel de cadena rompible, ya que los niños pueden emitir
fragmentos de la secuencia de los numerales, sin pasar necesariamente por el
-1- En otras palabras, ahora la competencia numérica del niño le permite
continuar la secuencia convencional aprendida a partir de cualquier numeral,
como, por ejemplo 3-4-5...
4) El grado de elaboración y abstracción es mayor, de modo
que los niños pueden incluso entenderlos numerales como elementos contables.
5) Finalmente, estos mismos autores afinnan que el niño
puede emitir de manera Huida y con entera fíexibilidad la secuencia de los
numerales tanto hacia adelante como hacia atrás, a partir de un numeral dado.
Por otra parte Bermejo y Bermejo
consideran también a otros autores que han propuesto que los pasos que siguen
los niños para aprender la secuencia de los numerales serían fundamentalmente
tres:
a. Memorizarlos términos de las unidades,
b. generar las decenas o veintenas a partir de los nombres
de las unidades;
81
c. y aprenderlas reglas de generación que combinan unidades
y decenas, para el tema que se aborda también sería la veintena para construir
números mayores.
Estos mismos autores parten de la
pregunta ¿Cuándo entienden los niños que los numerales y su secuencia son
convencionales? Consideran que de acuerdo a Saxe y otros (1989), esta
comprensión requiere su tiempo, de modo que a los cuatro años pocos niños
comprendan esta convencionalidad, mientras que suele ser mas frecuente a los
seis y sobre todo a los ocho años. Incluso estos mismos investigadores
encuentran que los niños bilingües comprenden antes la arbitrariedad de la
secuencia numeral.
4.2.3 Cardinal numérico
Según Bermejo y Bermejo el
cardinal numérico indica el número de objetos que hay en un conjunto dado. Por
ejemplo, en la mano hay cinco dedos. Ellos afirman que el principio de
cardinalidad tercer modelo de Gelman y Gallister, no se ajusta exactamente al
concepto de cardinal numérico antes mencionado. Este principio reza así: el
ultimo numeral utilizado para contarlos elementos de un conjunto representa e
indica los objetos que hay en ese conjunto. Dicen además que el cardinal
numérico es un concepto más amplio, en cierto sentido, que el principio de
cardinalidad, ya que este supone no solo el uso del conteo, sino además que
haya sido ejecutado correctamente empleando la secuencia convencional. En
cambio se pueden determinarlos objetos de un conjunto utilizando procedimientos
diferentes al conteo, por ejemplo, mediante subutilización o estimación.
82
Por otra parte, contar el último
numeral ublizado en la secuencia representa los objetos contados, sino que
cualquiera de los numerales empleados representa los objetos contados, hasta
ese momento, debido al significado inherente délos mismos números. Indica los
objetos que sean contado hasta ese momento, “el 3, representa igualmente los
objetos contados hasta ese momento.
El modelo de comprensión por
niveles de Bermejo muestra las etapas por el que pasarían los niños.
1. Incomprensión de la situación y respuestas al azar (hasta
los 2-6 años).
2. Repetición de la secuencia de conteo utilizada (2, 6 a 30
años).
3. Volverá contar: el niño vuelve a contar al preguntarie
cuantos objetos hay,
4. Aplicación de 4a regla del cuántos: ante la pregunta
cuánto hay la reacción mecánica de los niños consiste en dar el rifimo numeral
ublizado en el conteo, sea este conecto e incorrecto(3,6 a 40 años).
5. Dar el numeral mayor utilizado en el conteo, sea o no el
ultimo empleado (4, O, 6 años).
6. Respuesta correcta de cardinalidad: comprensión del
cardinal numérico (a partir de 4,6 años).
Según los autores las edades son
aproximadas y existen diferencias interíndividuales importantes, no resulta
difícil determinar el nivel de competencia de u niño con respecto al cardinal
numérico. Existen diferentes procedimientos para ello, como por ejemplo:
83
> Preguntar cuántos objetos hay en un conjunto dado
después o antes de cortar.
> pedir al niño n objetos,
> preguntar al niño cuántos objetos hay después de haber
de contado (puede cometer errores)
Los mismos autores dicen que no
es fácil diferenciarlos niveles 4oy 6o cuando se utiliza la secuencia
convencional ya que en ambos casos la respuesta conecta es la misma. En cambio,
se identifícan fácilmente ambos niveles si pedimos al niño, por ejemplo que
utilice la secuencia numeral hacia atrás para contar (Fig. 17.) en este caso, a
la pregunta -cuántos hay- , el niño del cuarto 4o nivel responderá -2-,
mientras que el niño del 6o nivel dirá -4- en el ejemplo propuesto. Otro
procedimiento más para diferenciar ambos niveles reside en utilizar secuencias
convencionales con omisiones (ej.: 1-2-4-6 o 1-2-5-3, etc.).
Fig.17
Secuencia de conteo hacia atrás
ó ó ó ó
5 4 3 2
Por tanto, parece daro que la
adquisición y comprensión del cardinal numérico no se obtiene súbitamente, sino
que supone un proceso más o menos largo en el
84
desanrollo numérico del niño.
Además, el momento evolutivo de su aparición va a depender del procedimiento
empleado. Si se utiliza subitización, aparece antes en el desanrollo que cuando
se emplea el conteo, tal como se ha visto. Ello se debe, no solo a la mayor
precocidad de la subitización, sino también a que el conteo no tiene al
principio significado cardinal pata el niño, es decir, no sabe que el conteo
sirve para determinar cuántos objetos hay en un conjunto.
4.2.4 Principio de abstracción
Según Bermejo y Bermejo, el
principio de abstracción establece que todos los objetos de un conjunto o
colección, sean homogéneos o heterogéneos, como por ejemplo, objetos de
diferentes formas y colores (peras y manzanas). Pero antes, el niño contará
primero las peras, por ejemplo, y después las manzanas, como si se trataran de
dos conjuntos diferentes. No obstante, el objetivo cuantificador perseguido por
el conteo podría cambiar el modo de contar los objetos. Además afirman, que los
niños de cuatro años cuentan de modo diferente el conjunto de objetos que
tienen delante formado por cucharillas, si algunas de ellas están partidas por
la mitad. Si se les pide que cuenten y nos digan cuántas cucharillas hay, su
modo de contar sería diferente que cuando se les pregunta cuántos objetos hay.
Por tanto, es importante qué el niño identifique el tipo de unidad que sinre
para contaro se va a contar.
4.2.5 Irrelevancia del orden
El ultimo modelo que Bermejo y
Bermejo eñalan se denomina Irrelevancia de orden, indican que los numerales (o
etiquetas) a los objetos resultan irrelevantes, siempre y
85
cuando se etiquete una sola vez
cada uno de los objetos. Si así es, el cardinal será siempre el mismo
independientemente del orden seguido en el conteo. Por tanto, el conteo
estándar permite empezar a contar de izquierda o por la derecha, o per cambio
de la hilera de objetos ya que el cardinal-resultado será siempre el mismo. Sin
embargo, esto no resulta tan fácil para los niños. Hasta los 4 o incluso 5 años
los niños no admiten la inrelevancia del orden y, sobre todo, no aceptan que el
resultado del conteo sea el mismo según que empecemos a contar por la derecha,
por la izquierda, o por el centro. Los niños pequeños afirman con seguridad que
-así no se cuenta- o qué -esta mal- si nos desviamos del procedimiento habitual
del contar empezando por la izquierda.
Estos autores reconocen que el
dominio de este principio supone además en el niño las siguientes competencias.
a. la conespondencia uno-a-uno,
b. el contar estable,
c. el cardinal numérico.
Llegar a la comprensión del
concepto numero existen niveles de aprendizaje y ejercitación. El más relevante
es el conteo oral, la repetición de la serie numérica del 1 al 10, la relación
1 a 1, posteriormente se pasa a otro nivel de complejidad como la agrupación de
objetos y su relación con los numerales" ..y sería imposible, por ejemplo,
hablar de grandes números o de números decimales, sin el recurso de la
representación escrita(Vergnaud 1998,135J.
86
La construcción de este
conocimiento matemático es todo un proceso. Hay todo un procedimiento para
saber que es número. A cada objeto se le asigna una representación numérica por
ejemplo: cinco plátanos se representaría 5 en el sistema decimal; en la lengua
ëyuujk se dice mékoxk, una mano o tu’uk también en éyuijk sin que esta sea una
actividad de contar.
Para establecer el conteo es
necesario organizar un medio para asignarle un valor a un numeral, a un ritmo
que progrese en el sentido de medidas crecientes, de menor a mayor valor. Una
vez que se crea un sistema, se procede a contar una colección. En el
aprendizaje de los números ëyuujk el proceso que pasa el niño ëyuujk para
aprender los números no hay una diferencia para adquirir el conteo. Como dicen
Bermejo y Bermejo un niño bilingüe tiene más facilidades para aprendera contar.
La única diferencia es que los niños que hablan una lengua indígena aprender
los números en sistema vigesimal y la escuela ofrece a que los alumnos aprendan
a contar el sistema decimal. Que la lengua no es un obstácuk) para aprender una
numeración. Siempre y cuando su enseñanza sea pertinente.
Los números tiene una
flexibilidad de uso en la vida cotidiana". ...se construye en un contexto
donde es funcional... sirve para resolver problemas reales" (Gómez, 1998)
Al ser usado en diversos contextos, se puede utilizar como:
❖ Secuencia verbal: uno, dos, tres,
cuatro...veinticinco ¡yal no se refiere a ningún objeto externo (En el juego).
❖ Para contar (recuento) relación
biunknoca numero-objeto. Cuando alguien
cuenta animales o frutas.
87
❖ Para expresar una cantidad de objetos.
Un cono de huevos.
❖ Para medir. (El albañil o el
caipintero necesitan medir madera, terreno donde se va a construir, altura de
la cas, medida délas ventanas o puertas.
❖ Para marcar una posición, (ganadores o
perdedores) primero, segundo, tercero...
❖ Como código o srnbolos: Numero de
camiseta, de corredor, de deportista, de carro o cajones de estacionamiento.
❖ Como resorte a plisar: maquina de
escribir, computadora. (Tedas)
❖ Y von varios significados diferentes a
la vez carteles.
Cuando estamos en la didáctica y
el uso de un recurso didáctico. Nos damos cuerita que los números se pueden
representar de diferente manera por ejemplo: para representar diecisiete en
español o en ëyuujk majkjéxtujk. Como se observa en la siguiente imagen. (Foto
2) (Tabla 31).
Foto Tomada por.: Norma F.
Martínez Jiménez
88
Tabla 31
17 Majkéjxtujk Diez
dos cinco 10+2+5
Lo que se observa es que los
números pueden descomponerse en subgrupos, Una descomposición lógica que sucede
en una numeración éyuujk. En la imagen se muestra el numero 17 del ëyuujk se
observa dos bases aditivas adicionales 10,5. Y su expresión aritmética 10+2+5.
Este mismo número en español se expresa 10+7.
En resumen el aprendizaje de los
números pasa por varias etapas para construir qué es numero.
89
CAPITULO 5. ACTIVIDADES PARA
APOYAR EL APRENDIZAJE DE LA NUMERACIÓN INDÍGENA.
En este capitulo se detalla cómo
se podro hacer una intervención pedagógica para llevar a cabo una enseñanza
pertinente de los números de los pueblos originarios. Primero se describe el
contexto donde se realizaron las actividades orales y escritas. Luego, se
explica a detalle, las actividades que podrían realizar los profesores con los
alunnos pata aprender la numeración. Además, se hace la transcripción de las
actividades que se realizaron con los alumnos. Las sugerencias ayudarán al
profesor de Educación Intercultiral Bilingüe a enseñar la numeración de su
lengua. También apoyará el aprendizaje de la numeración indígena. En esta
intervención, se decide enseñar la numeración a través de juegos y de otros
recursos que se explican en el escrito de este capítulo.
Para favorecer el aprendizaje de
los números del sistema vigesimal de los pueblos indígenas de México es
necesario que se diseñen actividades orales y escritos. Las actividades que se
sugieren se derivan de la definición de Di Ambrossio con respecto a cómo
concibe una enseñanza pertinente de las matemáticas, en particular, el sistema
de numeración indígena. Se empieza por citar que: ‘Como educador matemático
procuro utilizar aquello que aprendí como matemático para realizar mi misión de
educador. Mi ciencia y mi conocimiento están subordinados a mi humanismo
"(2001). A continuación se hace una descripción de las actividades orales
y escritas posibles para enseñar un sistema de numeración.
90
5.1 Diagnóstico del grado de bffingüisiiio de los alumnos.
Para conocer las competencias
lingüísticas en ëyuujk de los alumnos es necesario realzar un diagnóstico
finguisleo del dominio que tienen los alunnso con respecto a la lengua
indígena. Este diagnóstico ayudó a conocer el grado de bilngüsmo de los
alumnos. Permitió identifear si tenían dominio de la lectura y escritura en la
lengua éyuujk. Además es un elemento importante porque es la pauta para conocer
si saben escribir y leer los números éyuujk.
La estrategia que se utilizó para
saber si león y escriban la lengua ëyuujk fue a través de una descripción
personal que realizó el alumno. La tinaidad del diagnóstico, es conocer la
competencia lingüística que tienen los alumnos con respecto a su lengua que
hablan. Esto a su vez, permitió usar los otros recursos didácticos para realzar
algunas actividades orales y escritas. A continuación se enumera el desarrollo
de la actividad:
• Se entabló un diálogo con los alumnos.
Posteriormente se hizo la descripción personal de quien coordina el taller. Sé
empezó por mencionar el nombre completo, edad, sexo, lugar de nacimiento, el
lugar de residencia, los gustos personales y la profesión, (el efiálogo se
realzó en la lengua que se habla en la comunidad y en particular los alumnos).
Algunos alumnos reconocieron a la
conductora del taller. Hicieron comentarios de conocerla.
91
• Posteriormente
se indicó a tos alumnos que realizarán la misma actividad. Una diferencia del
desarrollo de la actividad, los alumnos tuvieron que escribir en su cuaderno la
descripción personal.
En esta actividad los alumnos
titubearon. Hablan la lengua. Pero, no así con la escritura, porque no lo
escriben continuamente (En esta actividad intervinieron: la profesora del grupo
y el director de la escuela). Ellos les dijeron a los alumnos que ya conocen el
alfabeto éyuujk, por k> tanto, tienen que utilizar las grafías de la lengua
éyuujk. En esta acción los alumnos tuvieron dificultad para escribir su descripción
personal.
• Después
que todos los alumnos concluyeron con la actividad encomendada. Se procedió a
que lo escrito por los alumnos se leyera ante el gnqpo. Todos pasaron a leer su
trabajo. Al haber leído su escrito y superar la dificultad que manifestaron en
un principio para leer y escribir en su lengua, los niños finalmente, se dieron
cuenta que no eran habilidades que no han desandado.
En el cierre de esta actividad se
notó que el dominio de escritura y lectura en la lengua ëyuujk de los alumnos
está en un nivel medio. Este diagnóstico permitió hacer las actividades
escritas. Realizar el diagnóstico del grado de bilingüismo es de vital
importancia, porque permitió conocer si los alumnos escribían y león en su
lengua. Además, saber sí los alumnos escriben en su lengua ayudará para hacer
uso de los otros recursos didácticos, especicamente en las actividades
escritas.
92
5.2 Las actividades orales
Las actividades orales son
acciones que se realizan en el lenguaje hablado. Para el aprendizaje de los números
de los pueblos originarios se propone el juego del Pin Pon. Estrategia que
pemiite la memorización de los números estructurados en sistema vigesimal. Una
actividad que accede al alumno a desenvolverse con seguridad al empezar a
contar en su lengua indígena. Las actividades se realizaron en la lengua
indígena que habla el alunno. También será para ensenar las otras numeraciones
de las lenguas indígenas de México. Para el desarrollo de las actividades se
realizaron en tres momentos: conteo oral progresivo, conteo oral regresivo,
memoramos.
5.2.1 Pin Pon progresivo (Actividad adaptada de Wriglit, Martland,
Stafford, y Stanger, 2006)
El conteo oral progresivo se
refiere a contar los números. Hacia adelante. En series de uno en uno. Conforme
los alumnos tienen dominio del conteo en series de uno en uno. También, ésta
dinámica se puede realizar en series de dos en dos, tres en tres y así
sucesivamente. Este juego, será relevante, en el momento en que los niños
empiecen a familiarizarse con el conteo oral y su dominio. El objetivo de esta
estrategia es que los alumnos deberán fortalecer el conteo oral de la
numeración de su lengua.
1er. momento. Conteo oral
progresivo de la serie numérica de ino en uno.
93
Indicaciones
1. Los alumnos se pararon en la cancha. Hicieron una figura
circular. Se les dijo a los alumnos la dinámica del juego.
2. Se les dijo a los alunnos, que contaran en la lengua
originaría que hablan. Primero contaron despacio. Después más rápido hasta que
manejen con habilidad la dinámica.
3. La conductora dirigió el conteo Les menciona el primer
número de la serie numérica. Los números que menciona son los números impares
del ti/ujk (1) al majktaxtujk (19) y los alunnos nombrarán los números pares
del majtsk (2) al e'px (20).
4. Cuando los alumnos se hayan familiarizados con el juego,
lo podrán dirigir uno de los alumnos.
A continuación se transcribe la
actividad que se desarrolló con los alumnos de
tercer grado.
Jékéxpéjkp5 jets6 Éxpekpét A
partir de este momento se utilizaran éstos vocablos y
se explican al pie de página.
La conductora del taller se
dirige a los alunnos en éyuigk diciéndoles lo siguiente:
- Jékéxpéjkp: Éxaam mejts
tipyékánta soo étom métsyoyém ya nkajpjotjp. (En este momento les voy a
preguntar cómo contamos en nuestro pueblo)
6 Jékéxpéjkp (traducción Silera!
deS castellano para nombrar profesora o profesor.
® Jets literalmente la conjunción
y.
' Éxpekpét significa alumnos.
94
- Éxpekpét tiíujk (1), matsjk
(2), tékejk (3 méktaxjk (4), mékoxjk (5), tétujk (6), éxtujk (7), tuujktujk (8),
taxtujk (9) (Algunos alumnos responden a la pregunta que se les hace)
Después se explica a los alumnos
en qué consiste el juego del pin pon. De ahí, se inicia con el juego. Es
importante que los alunnos mencionen el siguiente número de la serie.
-Jékéxpéjkp: tuuk. (uno)
-Éxpekpét majtsk (dos)
-Jékéxpéjkp: tékéék (tres)
-Éxpekpét méktaxk (cuatro)
-Jékéxpéjkp mékoxk (cinco)
-Éxpékpét: tétujk (uno, cinco)
-Jékéxpéjkp: éxfuyk (dos, cinco)
-Éxpékpét tuuktujk (tres, cinco)
-Jékéxpéjkp: taxtujk (cuatro,
cinco)
-Éxpékpét majk (diez)
-Jékéxpéjkp: majk tu'uk (diez,
ino)
-Éxpékpét majk matsk (diez, dos)
95
-Jékéxpijkp: májk tékééjk (diez,
tres)
-Éxpékpét májk májks (diez,
cuatro)
-Jékéxpéjkp: májk mojkx (diez,
cinco)
Éxpekpet májk tugt (diez, ino,
cinco)
-Jékéxpéjkp: májk éxtujk (diez,
dos, cinco)
-Éxpékpét májk tuuk tujk (diez,
tres, cinco)
-Jékéxpéjkp: májk táxtugk (diez,
cuatro, cinco)
Éxpékpét e'px (veinte)
-Jékéxpéjkp: Sootéé meets jé té
mnéjyojétáá ko’ téé ëyuujk nmetsooyeém (Cómo se sintieron al haber contado en
nuestra lengua)
-Éxpékpét: ey, kat éjts jénte
ëyuujk nmétsyey extern éxamén jéts nyékat jétén éjts ntiny jéts kat éjts ey
ëyuujk nmétsyey (Nos sentimos bien. No habíamos contado así en la lengua
éyuujk).
Esta actividad se desarrolló
repetidas veces. Cuando los alumnos tuvieron la habilidad del juego, se pasó a
la siguiente actividad. La actitud que asumieron los alumnos con la primera
actividad oral de las tres actividades orales, comentaron que nunca habían
jugado con los números en la forma cómo lo habían realizado ni en la lengua que
hablan los alumnos. A continuación se hace la transcripción de la
actividad.
96
5.2.2 Pin pon regresivo: 'Actividad adaptada de Wright, Martland,
Stafford, y Stanger, 2006)
2o. Momento: El conteo oral
regresivo se refiere a empezar a contar del número grande, e’px (veinte) hasta
llegar a tu'uk (uno). Es contar por atrás.
Objetivo: Fortalecer en los
alumnos el conteo oral de su numeración de manera regresiva.
-Jékéxpéjkp: mejts unjk énajk
éxam jétékojk métsyowanyem éxnejk a’my (Ahora vamos a contar los números para
atrás)
-Jékéxpéjkp Profesora: té
xnémétota (¿Entendieron cómo vamos a contar ahora?
- Éxpékpét:
téé éjts némétey (Todos contestan afirmativamente). Posteriormente se inició
con la actividad.
- Jékéxpéjkp:
E’px (veinte)
- Éxpékpét:
májk taxtujk (diez, cuatro, cinco)
- Jékéxpéjkp:
majk tuuktujk (diez, tres, cinco)
- Éxpékpét:
Májk éxtujk (diez, dos, cinco)
- Jékéxpéjkp:
majk tujt (diez, uno, cinco)
- Éxpékpét:
májk mojkx (diez, cinco)
- ékéxpéjkp: majk majks (diez,
cuatro)
97
- Éxpékpét:
májk tékééjk (diez, tres)
-Jékéxpéjkp: májk matsjk (diez,
dos)
- Éxpékpét:
májk tu'uk (diez, uno)
- Jékéxpéjkp:
májk (diez)
- Éxpékpét:
táxtujk (cuatro, cinco)
- Jékéxpéjkp:
tuuktujk (tres, cinco)
- Éxpékpét:
éxtujk (dos, cinco)
- Jékéxpéjkp:
tétujk (uno, cinco)
- Éxpékpét:
mékoxk (cinco)
- Jékéxpéjkp:
méjktáxk (cuatro)
- Éxpékpét:
tékéék (tres)
- Jék
éxpéjkp: majtsk (dos)
- Éxpékpét:
tu'ik (uno)
- Jékéxpéjkp:
téé yám métsyo’oyém éxnéjkxam soo néjyojétá ko jeten já metsyoon xjéjk tu
yotyit (Ya contamos de manera regresiva los números. Cómo se sintieron al
contar de esa manera).
98
- Expekpét: tsep neka kat éjts
tsojk njaty jeté. Ey jetékoojk ntunem extékonem jek ját (Está más difícil. No
aprendimos luego. Por qué no lo hacemos nuevamente) (Algunos alumnos
responden).
La actividad se puede realizar en
series de dos en dos o en otras seríes numéricas. Dependerá de la habilidad que
desarrollen los alumnos en el conteo regresivo.
En un principio los alumnos
tuvieron dificultades para realizar el conteo regresivo. El juego se repitió
varías veces. Hasta que los alumnos lograrán contar regresivamente. Después de
que se familiarizaron con la actividad se pasó al tercer momento. En esta
actividad los alumnos hicieron lo siguiente:
5.2.3 El memorama 3er. Momento. El memorama.
Objetivo: Qué los alumnos
aprendan a leer y escribir el nombre de los números de su lengua.
Para adqiirir el recurso
didáctico se sugiere a los profesores que elaboren dos conjuntos de taijetas de
los números en sistema vigesimal. En esta actividad se hicieron en la lengua
ëyuujk del tu uk (uno) al e’px (veinte) En un conjunto se escriben los nombres
en la tarjeta y en el otro conjunto los numerales indo-arábigos del uno al
veinte. (Fig.18).
Fig. 18. Memorama
Se explica las reglas del juego:
El número de jugadores debe ser
de tres a cuatro niños. (SEP, 1992)
1. Se darán tumos.
2. Cuando los niños establecen los turnos. Se revuelven las
tarjetas y se colocan boca-abajo.
3. Un niño retira dos tarjetas tratando de localizar el par
uno escrito en ëyuujk y su equivalente en minero indo arábigo.
4. Cuando el niño no encuentra el par del número buscado
cede el turno al niño que sigue. Y si encuentra el par continua jugando hasta
que no encuentra el par o se agotan las tarjetas.
5. Termina el juego cuando no hay más tarjetas
A continuación se transcribe el
desarrollo de la actividad.
Cuando los alumnos reciben las
indicaciones del juego. Se forman los equipos para realizar el juego. Ya que se
hayan conformado los equipos. Cada equipo busca un espacio dentro del salón
para jugar. Posteriormente empiezan el juego.
- Jékéxpéjkp: Méjts unk énajk
éxam jé tu'uk piky ja tunk ja pék jetékoojk newakyanyem, yat neky metep m extip
éxam ntékyitanyém. Nééjááyétép mejts téé
100
ya'at (Alumnos en este momento
vamos a realizar el juego de tarjetas que les estoy mostrando. Ustedes ya saben
de qué juego se trata)
- Éxpékpét:
jénet. (Está bien)
- Jékéxpéjkp:
A cada equipo le entrego un conjunto de memoramas (Xa’ yaat ejk jets
mkéyatsoontét)
Se transcribe fragmentos de las
discusiones que realizaban entre niños.
- Éxpékpét:
ejx'kat xé nyépyiatyia yaat xé méét ye’é métsyon (Miren no coincide el nombre
con el número.
- Éxpékpét:
jétékoojk éxtayém (Vuelve a buscar otra tarjeta)
- Éxpékpét:
éxtékooném jyéjk páát ja'á xé ék ja metsyoon (Hasta que encontremos el par)
- Éxpékpét:
tsep yaat neek ka’t nékoo jéjk pááty (está más difícil encontrar su par)
En esta actividad se relacionan
aspectos importantes y usar este recurso didáctico se fomenta: la lengua escrita,
la lectura y la oralidad. Los alumnos discuten sus errores y aciertos al
momento de encontrar tarjetas impares y pares.
5.3 Actividades escritas
Después de haber realizado las
actividades del tercer momento. Es importante que los alumnos realicen ejercidos
en el cuaderno. Se deben plantear ejercicios a los alumnos para que
identifiquen los números escritos en la lengua indígena que hablan
101
-en este caso el éyuujk- y los
números del español. Las actividades escritas se realizan a lápiz y papel. Se
utilizaron como apoyo los recursos didácticos que se proponen.
5.3.1 Relato de un cuento
Objetivo: Lograr qué los alumnos
identifiquen a través del relato de un cuento, la forma cómo las personas de la
comunidad representan algunas cantidades del conteo con la finalidad de
reconocer los agrupamientos que se dan en la numeración de su lengua.
1 Se plantea a los niños la
siguiente pregunta: ¿Cómo se imaginen que cortaban sus abuelos? Esta pregunta
que se hizo a los alumnos. Hubieron niños que mencionaron la forma como cuentan
o contaban en su casa o en su pueblo. Las respuestas aportadas por los alumnos
dieron lugar para presentar un cuento, a partir de las vivencias de los niños
de su entorno familiar. Para este cuento se toma como referente una actividad social.
(Transcripción de fragmentos de
las actividades que se desarrollaron)
1 Jékéxpejkp: méjts urik énak
éxam netya ja jétu'uk piky ja tunjk péjk
jétéékoojk jéktsoritáákányem
(Alumnos ahora vamos a realizar otra actividad)
- Jékéxpejkp:
meets éxyam ntépyiékantép soo ja' étom ja nteety éméj méét ja' ntajk émé
njénaty metsyooyemta
- Éxpékpét:
tu’uk (1). matsk (2). tékééjk (3) (repiten la serie del 1 al 10)
102
En este espacio se insistió en
que los alumnos recordarán como cuentan en su casa. Se les mencionó las
actividades que realizan los adultos: cuando la mamá elabora el comal o las
ollas de barro. Utensilios de cocina que usa la comunidad. Cómo hacen el
rebozo, el huipil que portan las señoras de la comunidad (En esta comunidad la
actividad de las personas es elaborar comal, ollas de barro, el tejido del
rebozo y huipil)
- Éxpekpét Koo éjts ntaajk wekx
ne'y métsepy ka mekoxjk játy ja wekxy wapy ma já' wekxyepékény. nía já’ (Mi
mamá cuando hace los comales, los cuenta de cinco en cinco, y por tamaño. Luego
los coloca en uia caja exclusivamente para acomodar los comales de tal manera
que no se rompan. (Ver foto 3)
Forma de acomodarlos comales.
Foto 3
Foto tomada por.: Norma F. Martínez
Jiménez
103
- Jékéxpejkp:
janxy ye mékujk énanya (Se dirige a los alumnos para preguntar ¿Es cierto lo
que dice su compañero?
- Éxpékpét:
janxy jéts ye' jeten xyé jéjk tiny (es cierto, así se hace)
Después de haber dialogado con
los alumnos. Se les pide atención. Se les hace saber que se les cortará m
cuento.
1. Relato de un cuento. El cuento parte desde el contexto
del alumno. En el desarrollo del cuento se mencionan cómo contaban los abuelos,
el nombre de cada agrupación que hay en la primera veintena.
Wejkx tyo'okpa’ (ap métyaky)
Ném ja aa ëyuujk ko ja to’oxtéjk
meétép tuts naap tyunjkatypy ejtp ja tyilts pé’uy ko' tojkjétetp nyikyxy, etjtp
jeten jyaty. Nejk jyotmaynye, yaxp jojkp. Katéjktapyatné’ jénét ja xémaapy ojts
tejsixy. -Yats nminy nja’aty teety. Éyoon xjekjétejp. Káts ja nwejkyxy tsyojk
i’eya’ ejtp péu’uy ka ntém “yeya\ -Unk kat xméjotmaty. Wa’ ye tsyekpy
tsapné’aa’ méét ja néé ju'uky ja et naxwiny meét ja wejkyxy jénet eyany
pyatyany. Koo x’éjktunkéxt jéts ja épéjkény igék eyet. Mejktaxk ja xekojpakt
jéts mékoxk ja wejkyxy xpétakt tu’ik ké’ nja’a kyapxant jéts tu’uk épéjkény ja
wejkyxy myetantant ja tu’uk e’px kyapxant. Jétén ja wéjkxnyap ja ojts ja
jyotmay ojts ja kyéi|ka.
La señora que hacía comales
(cuento)
Había una vez una señora que vivó
en un lugar llamado Méxantu’am. La señora se dedicaba a hacer comales. Siempre
ten» problemas para llevarlos a vender. Su
104
desesperación era tan grande, que
empezó a llorar. Se decía así misma ¿Por qué cada cuándo quiero salir a vender
mis comales siempre se rompen? Tan serio era su problema y fue a ver al sabio
del lugar. Señor con toda humildad vengo a verlo. Y el sabio le pregunta -Qué
te trae por mi casa. -Señor como usted sabe me dedico a hacer comales. Cada que
voy a salir a vender mis comales se rompen antes de llegar al lugar. - ¡Ah!
Responde el sabio. -Hija tu sabes que siempre se tiene que pedir permiso a la
tierra. Antes de salir a vender tus comales. No te preocupes vas a ofrendara
los comales ya la madre tierra un gallo, huevos, mezcal. Cuando termines de
hacer la ofrenda. Vas a hacer unas cajas para colocar los comales. La caja
tendrá cuatro divisiones. En cada división llevará una cuenta de una mano y una
caja será un veinte o una carga. Finalmente el sabio le dijo a la señora -si me
haces caso. Ya no se romperán tus ollas. La señora hizo todo lo que le indicó
el sabio y desde ese día no le volvió a pasar lo mismo. Los abuelos dicen
siempre, es importante pedir permiso a la madre tierra cada que realicemos una
actividad otorgándoles las ofrendas según k> indique el sabio.
De esta actividad se desprende
que al motivar a los alumnos con el relato de un cuento. Se puede lograr
didácticamente a que el alumno tomen interés de cómo cuentan en su comunidad.
Además favorecerá a entender cómo se construye su sistema de numeración.
5.3.2 Los numerales mayas
2o. Momento. Después del relato
del cuento, se presentan a los alumnos los numerales mayas. Los numerales mayas
(Foto 4)
105
Los numerales mayas. Foto 4
Foto tomada por: Norma F.
Martínez Jiménez
Para enserar los números basados
en sistema vigesimal es importante usar los numerales mayas. Es necesario
establecer pasos. Esto a su vez, permitirá el uso adecuado de los recursos.
Objetivo: lograr que los alumnos
reconozcan los agrupamientos y desagrupamientos que hay en la numeración de su
lengua. Así también darán paso a aprender a identificar y escribir los números
en la lengua indígena. Además de asignar valores a cada ira de los minerales
mayas.
A continuación se describen los
pasos para darle los numerales mayas.
1. Al introducir los valores de
los numerales mayas se recomendó recuperar el contenido del cuento: la forma de
contar y el diálogo que entablaron los personajes durante el desarrollo del
cuento.
105
2. A partir del cuento, se preguntó a los niños que valor
numérico le darían al recuso que se les presenta.
- Jékéxpejkp:
mejts unk énakét soo jénten ntuném jets étom ja nmétsyoon wya pétakém ja expat
méét ja nyimétsyoopat. Téé éjts yam ja kipy tsyetsy njéjk miny Je' ityia. Wan
étom ntenepétakyem soo ity njejk tunjkpatém. (Alumnos traje trozos de madera que
pudieran servimos para representar nuestros números. Qué haríamos con ellos
para darle valor a los materiales que les presento)
- Éxpékpa':
después de un silencio y observar los recursos didácticos que les muestro.
Finalmente los alumnos responden: ey tu uk játy riejk exim jets éxtayém soo
tyiant (Vamos a observar uno por uno los materiales y luego le damos el valor y
veremos como queda)
- Jékéxpejkp:
extém énanta ey jétén nejktiném. (está bien como dicen).
- Jékéxpéjk:
éjk exta yat jépyen. Téé yat jénten téjkexpajtém. Observen este primero. ¿Qué
valor le daríamos? (se les presenta una medita de madera)
- Éxpekpa':
ye’ pek kénjk ey ye' tuuk kéé ké'jeep wuant (la figura redonda lo
representaremos como un dedo)
- Éxpekpa':
jéts yé métep yenyenjk ey ye tu’uk ké’ ja extim mjá ap* métyakyna'
(Y el palo recto que esta solo
que se represente como una mano así como en el cuento.
- Jékéxpéjk:
jéts yaat (Y este. Se les muestra la barra que tiene dos barras)
107
Éxpékpa': éxtim ye’ ja’, eyémts
ye’ matsk ké, ék éy kat (Ah, ese pues representará dos manos ¿o no?
Jékéxpéjk): soo meejts nékapxta’
(O ustedes que dicen).
Éxpékpa': ey ye mátsjk ké, mátsjk
tsyé jam. Jéts yé métep tékééjk ey yé' mátsjk ké’ jéts tu’ujk tejky (Es mejor
que el de las dos barras represente dos manos y el de tres barras que
represente dos manos y un pie)
Jékéxpejk: jéte ko’ jétén xtsokta
(¿Por qué así?)
Éxpékpa': jako’ ja nk’e
ntemétsyopetyim (Porque hemos ocupado las manos para contar)
Jékéxpijk: jétén ntsyéé’ (Así es)
Jékéxpijk): kujk nténépétakém ja
métsyoony. Jéts yat kipy mété kaxijkp extém jénkey te yéntená Ahora que ya
avanzamos. Ya le dieron el valor a casi a todos los recursos que les mostré.
Les pregunto la figura que esta en forma triangular ¿qué sera?
Éxpékpa': Téé yéé jékpátné’ jénén
jékkápx. Ey ye'é ntejém tu'uk képajk ék tu’uk e”px (Como ya le dimos valora los
demás recursos. La figura en fomia de m triángulo puede representar una cabeza
o m veinte)
Jékéxpéjk: Pénténtém énanta’
eyjétéa (si así lo dicen así será).
Éxpékpa': 'Jétén tsyé nyépyaatya
(Así queda bien)
108
- Jékéxpejk: Té jeten tinay.
Eyja’ rnneky xkompetsentét jets jayem ntuntakém méét ja’ meétsyoon (Ya quedo
así. Entonces van a sacar su cuaderno y lápiz para hacer unos ejercicios en su
cuaderno)
3. Cuando los alumnos hayan asignado el valor a cado uno de
los recursos. Se sugiere usar los ejercicios en el cuaderno.
4. Se sugiere que usen los numerales mayas y los lexemas
numéricos éyuijk.
5. Se anota en el pizarrón algunas cantidades y los alumnos
lo van representando con los numerales mayas,
Tercer momento. Uso de hoja y
papel, y los numerales mayas
Cuando los alumnos fueron
identificando los valores de los numerales mayas. Se propuso a los niños a que
realizarán los ejercicios en su cuaderno de trabajo (Tabla 32) (Foto 5).
Tabla 32. Ejercido
Números éyuujk Números mayas
Ti/uk Mekoxk Tuuktujk Májktékéék
Majktift E’px
109
En la foto se aprecia la
actividad realizada a lápiz y papel (Foto 5).
Foto 5. Actividad
Foto tomada por.: Norma F R. Martínez Jiménez
Realizar esta secuencia didáctica
accedió a los niños a comprender mejor cómo se agrupa su numeración. Que los
mismos alumnos al darle los valores a los numerales mayas comprendieron aún mas
la estructura de su numeración y como se construye.
5.3.3 La tabla numérica Cuarto momento. La tabla numérica.
La tabla numérica. Elaborada por
el Dr. Cortina Morfin. (Investigador de la Universidad Pedagógica Nacional
Unidad Ajusco). Es un material que en la forma horizontal están escritos
nombres de los números ëyuujk del uno al cien. Y en forma vertical los números
indo arábigos (Ver anexo 2).
110
Con este recuso se pretende que
los niños reconozcan sin dificultad como se lee y se escrito los números en la
lengua éyuujk. Previa a la actividad se hacen k> siguiente:
1 Se
escribió en el pizarrón la tabla numérica. Después se pidió a los alumnos, que
observarán muy bien la forma horizontal y vertical de la tabla numérica. De
cómo se leen los números y la representación numeral indo arábiga.
2 Una
vez que los alumnos, comprendieron como se usa la tabla numérica. Se dieron las
indicaciones para realizar los ejercicios.
3 Se
anotó en el pizarrón los números indo arábigos. Esto es para que lean las
cantidades anotadas, luego los representaron con los numerales mayas. E
identificaron los lexemas números del éyuujk. Por ejemplo: Se presenta números
pequeños y después números grandes (Tabla 33).
Tabla 33. Tabla numérica
Nombres ëyuujk Representación
Numerales mayas
Numérica indoarábiga
Tékéék 3 • • •
Jéxtujk 7 ••
Majkjéxtujk
17
Mékepx je e'px 128 tuuktujk
111
▲▲
A
Los alumnos realzaron los
ejercicios en su cuaderno. En esta actividad se apoyaron con la tabla numérica.
A cada alumno se le proporcionó una tabla numérica junto con los numerales
mayas. Estos recursos, permitió a los alumnos que realizaran los ejercicios sin
ninguna dificutad (Foto 6).
Uso de los numerales mayas y la
tabla numérica. Foto 6
Foto tonada por; NbnraF.
Ifertheziméns.
Las actividades orales y escritas
que realizaron los alumnos despertó en Eos alumnos el interés por aprender a
escribir y leer su propia numeración. También entendieron como se construye su
propia numeración. Esta aportación ayudará a los profesores para que aborden la
enseñanza de la numeración de su lengua en su salón de clases.
112
5.4 Los numerales mayas, un recurso
para enseñar la numeración de los pueblos originarios.
¿Por qué se propone utilizar los
símbolos mayas en la enseñanza de la numeración de los pueblos indígenas de
México?
Al proponer los símbolos mayas8
como recurso para enseñar los números de los pueblos originarios, se fundamenta
a que los números mayas se basan en un sistema vigesimal. Dentro de esa
estructura, se encuentran subgrupos de cinco, similares a lo que sucede en las
otras numeraciones del sistema vigesimal de los pueblos indígenas de México. La
única diferencia, es que en algunas lenguas, las transformaciones en la primera
veintena los encontramos en el cinco, diez y quince (Tabla 17, Capitulo tres).
En las lenguas como el chinanteco, y mixe por mencionar algunas de las lenguas originarias
de México. También en el caso del mixe medio, zapoteco, se encuentran subgrupos
de cinco y quince en la primera veintena (Tabla 17).
Los símbolos mayas admiten usar
los recursos con pertinencia. Pertinente porque en la actualidad las lenguas indígenas
se siguen hablando y el conteo se realiza de la misma manera. Además en las
otras lenguas el conteo oral sigue vigente. Para tener referencia de la cultura
maya se da una referencia general.
a La cultura maya es un pueblo
dignare que floreció en el sureste de México en los estados: Campeche, Chispas.
Tabasco Quintana Roo, Yucatán y eira el países de América centras: Guatemala.
Eli Salvador, Belice Una cultura que tuvo avances tecnológicos importantes de
su époc3. Se destacaron en la astronomía, en las matemáticas.
La ¡invención relevante fue que
definieron el cero. Tuvieron su propio símbolo numérico. Este antecedente,
permite el uso de líos numerales mayas. Un recurso penetrante para enseñar la
numeración de los pueblos indígenas de México.
113
5.4.1 Que son los numerales mayas
Los numerales mayas son símbolos
que idearon los mayas el punto (•) valor, uno, una barra (—) valor: cinco y la
concha que representa el cero. Con la combinación de los símbolos se construyen
las cantidades.
Un sistema posicional está
formado por un conjunto de dígitos (forma de dibujar el número), y una base.
Siendo el número de dígitos igual al valor de la base. Un número cualquiera, se
escribe en un sistema posicional como una sucesión ordenada y finita de
dígitos. Cada posición representa una potencia de la base. Gómez (1998) afirma
que la numeración maya “...es un sistema de niveles, de acuerdo con los
criterios del agrupamiento simple para los números menores de 20. Escriben sus
números en vertical de abajo arriba.” (Ver tabla 34).
Tabla 34. Numeración maya segundo
• 20
nivel
Primer • 1
nivel
Según Gómez (1998) existen tres
reglas para la escritura.
* Regla
1. Se combina los puntos, de 1 a 4 pintos.
* Regla
2. Cinco puntos forman una barra.
114
* Regla 3. Se combinan las barras,
con los puntos de 1 a 4 puntos. De 1 a 3 barras. Equivale a 15 este agrupamiento
se da en todas las veintenas. Es el
tercer agrupamiento que hay en una veintena.
Por la manera en que se
estructuran algunas numeraciones indígenas se consideran los símbolos mayas
para enseñar la numeración de los pueblos originarios. Además, la numeración
maya se consolidó en su estructura. Lo que justifica haber elaborado los
recursos que representen estos minerales. Cada recurso representa un valor. Los
materiales se pueden manipular por los alumnos, sin ninguna dificultad. Las
actividades que se desarrollen permitirán entender mejor la numeración d los
pueblos originarios.
115
CONCLUSIONES
Comencemos estas conclusiones
recordando el objetivo de la tesis: aportarle conocimientos al profesor
Educación Intercultural Bilingüe que contribuyan a que pueda enseñar la
numeración de su primera lengua. Aparte de ser un documento de información,
también busca aportar recursos para enseñar los números, y con ello, lograr un
aprendizaje pertinente de este conocimiento matemático.
Es importante señalar que para
mejorar la práctica educativa en las comunidades o pueblos originarios de
México, es necesario destacar a la investigación acción como una forma de hacer
una intervención educativa, ya que permite hacer una enseñanza pertinente de
los contenidos escolares. En esta tesis se explica cómo enseñar con pertinencia
los sistemas de numeración de los pueblos originarios
La trayectoria profesional y
laboral de quien escribe esta tesis ha implicado un gran reto. Este reto no es
individual, ya que es compartido por muchos otros profesores que trabajan día a
día con alumnos y alumnas de los pueblos originarios de México.
Las matemáticas es una asignatura
que contempla el plan y programas de estudio 2011. En éste se destaca que el
alumno debe conocer otros sistemas de numeración no convencionales. De igual
forma, se considera a la interculturalidad como elemento sustancial en el Plan
de Estudios 2011 que da lugar al respeto a las diferentes formas de contar. Por
esa razón, las formas de contar de los pueblos mesoamericanos de México se
están dando lugar para que sean enseñadas en los salones de clase. Se comenta
que en la norma educativa, se habla de interculturalidad, uno de los tres elementos
fundamentales del Plan y Programas de
116
Estudio 2011, en el que se
entiende que la numeración de los pueblos originarios debe ser enseñada y da
pie, al respeto e inclusión de conocimientos de los propios pueblos indígenas,
en este caso: la numeración de los pueblos.
Espero que el lector reconozca en
esta tesis el reto profesional que enfrentamos los docentes que laboramos en
educación indígena. Este reto implica comprometerse a buscar soluciones viables
para enseñar en las poblaciones donde las personas hablan una lengua distinta
al español. Es tarea de las profesoras y profesores tomar en cuenta su
trayectoria laboral y profesional porque le permite pensar y repensar cómo se
están enseñando los números y otros conocimientos en donde están implícitos aspectos
de una lengua y de una cultura específica. No es tarea fácil, pero tampoco
imposible. Hacerlo le ayudará al maestro a formarse, y así responder a las
necesidades de los alumnos y alumnas que hablan una lengua indígena y que
pertenecen a un pueblo indígena.
Un elemento importante que hay
que tomar en cuenta es reconocer que enseñar los sistemas de numeración de
pueblos indígenas es una obligación de los educadores y es un derecho de los
pueblos indígenas. En esta tesis se retomaron las disposiciones legales que ha
emitido y ha asumido la constitución del Estado Mexicano. (Ver anexo 1). Para
que esto se concrete, es necesario que haya una respuesta favorable de los
profesores y que también conozcan las disposiciones existentes y cumplan con
ese derecho de los alumnos. El marco normativo fundamenta enseñar los números.
Enseñar este aspecto de la lengua, no sólo es fomentar su enseñanza y
aprendizaje, sino es también, un contenido escolar, que está escrito en el
programa de matemáticas de Educación Primaria. En el marco normativo, se señala
que los
117
alumnos deben conocer otros
sistemas de numeración y al enseñar los números de los pueblos originarios se
cumple con el programa de matemáticas.
Para que los profesores puedan
enseñar el sistema de numeración de su lengua, antes deberán de conocerla,
poder leerla, escribirla y saber cómo se estructura. Tener el conocimiento del
sistema de numeración de su lengua le permitirá enseñarlo con más facilidad. De
igual forma, estará cumpliendo con el derecho de su pueblo originario. El
profesoral hacer el análisis de su sistema de numeración, le ayudará a entender
qué son las bases aditivas y multiplicativas que hay en un sistema de
numeración. Además, le permitirá identificar, las similitudes y diferencias que
se encuentran entres la lengua ëyuujk y las seis lenguas indígenas que se
analizaron y se presentan en esta tesis.
Se ha mencionado que los
profesores deben conocer su sistema de numeración, no se trata únicamente que
los profesores conozcan elementos que justifican el que se enseñen y aprendan
aspectos de una lengua indígena. Se destaca que los números del castellano se
nombran de diferente manera a los números de los pueblos indígenas. Estos
aspectos que se mencionan deben ser claros para el profesor al emprender, la
enseñanza de la numeración de su lengua y de su pueblo. As ¡también se señala
que aunque los sistemas de numeración de los pueblos indígenas son en su
mayoría vigesimales, existen importantes diferencias entre ellos, en las bases
aditivas internas que usan y en las formas en las que se da en la base
multiplicativa.
Otro elemento de vital interés
para los profesores es que sepan cómo se da el proceso de aprendizaje de los
números; que conozcan las etapas por las cuales los
118
niños van pasando, al momento de
aprender los números. La adquisición del conteo no se reduce aprender los
números indo-arábigos. De los niños que aprenden los números en una lengua
distinta al español no se puede decir que los niños no sepan contar. La única
diferencia es que aprenden a contar con un sistema de numeración que sigue una
lógica distinta al decimal. En este caso, estaríamos hablando de una lengua
indígena y un sistema de numeración vigesimal con características internas
diferentes.
Aprender una numeración no sólo implica
repetir el nombre de los números en la lengua originaria. El contar implica
también usar la estructura del sistema de manea flexible. En esto entra la
agrupación y desagrupación de cantidades. Implica también saber cómo hacer la
representación numérica de las cantidades que se transforman. Por eso se dice
que aprender a contar es todo un proceso.
Saber los aspectos generales de
un sistema de numeración nos lleva a pensar cómo hacer para enseñar este
conocimiento matemático en el salón de clases. De todo el recorrido se
considera una intervención pedagógica para apoyar al profesor de educación
intercultural bilingüe de los pueblos indígenas de México. En esta intervención
pedagógica se sugiere desarrollar recursos didácticos, que en un primer momento
se aplicaron y desanclaron en esta intervención. Se reconoce la importancia de
ponerlos a prueba en una escuela. Así es posible reconocer qué tan pertinente
son los recursos diseñados para apoyar el aprendizaje de una numeración de
manera pertinente. Además, permite identificar las dificultades que se pueden
presentar al utilizarlos y así poder mejorarlos. Cada contexto de aula es
distinto, por lo que cada profesor debe hacer los ajustes necesarios.
119
En la experiencia realizada se
reconoció que, al estudiar la numeración, los alumnos hablantes se motivan a
aprender más de su lengua. La enseñanza de la numeración coadyuva a fortalecer,
revalorar y fomentar el uso de la lengua de los niños y niñas de México, tanto
en su escritura,, lectura y comprensión de su lengua.
A manera de reflexión, es
importante deliberar hacia dónde debemos mirar los indígenas profesionales y
hablantes de una lengua, herederos de una cosmovisión distinta a la dominante
del castellano. Todo lo que se expuso en este documento, es un compromiso que
se tiene con y para los pueblos indígenas de México y a la vez, representa un
reto, para todos aquellos, que están en las escuelas indígenas, un reto que
implica procurar una formación constante para atender las necesidades de los
propios pueblos indígenas.
Con todo lo que se ha dicho los
profesores debemos atender las necesidades de los pueblos indígenas, porque son
los propios padres y madres de familia hablantes de una lengua indígena,
quienes reconocen que sus hijos deben aprender todos los aspectos de su lengua,
incluyendo, por supuesto, la numeración. Por ello, es una obligación de los
docentes indígenas tomar en cuenta las peticiones de lo que quieren y de lo que
no quieren los hombres y mujeres de un pueblo indígena de México. Los profesionales
indígenas debemos escuchar las voces de aquellos que están en las comunidades.
120
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123
AN EXOS
124
Anexo 1
1.1 Marco
Normativo
El propósito de este anexo es
darle información al profesor acerca de las leyes y artículos los cuáles
justifican la importancia de enseñar la numeración de los pueblos originarios.
Se comenta el acuerdo y los artículos de las leyes en los que se puntualiza que
la lengua originaria debe ser revalorada, fortalecida y fomentada, en y por sus
hablantes. Enseñar la lengua en las escuelas se fundamenta en las disposiciones
que lo señalan como derecho humano e indígena. A continuación se enumeran las
normas. Éstas se aplican a los sistemas de numeración de los pueblos
originarios por ser parte de las lenguas indígenas.
1.1.1 Acuerdo 169
En el año de 1991 entró en vigor
el Acuerdo 169 de la Organización Internacional del Trabajo, el cual fue
ratificado por México. En este Acuerdo se dice que:
Artículo V, Inciso “a”:
Deberán reconocerse y protegerse
los valores y prácticas sociales, culturales, religiosos y espirituales propios
de dichos pueblos [los pueblos originarios] y deberá tomarse debidamente en
consideración la índole de los problemas que se les plantean tanto colectiva
como individualmente;
De acuerdo con este artículo, un
sistema de numeración, como valor cultural de un pueblo originario, tiene que
reconocerse y protegerse.
125
Artículo 27
1. Los programas y los servicios de educación destinados a
los pueblos interesados deberán desarrollarse y aplicarse en cooperación con
éstos a fin de responder a sus necesidades particulares, y deberán abarcar su
historia, sus conocimientos y técnicas, sus sistemas de valores y todas sus
demás aspiraciones sociales, económicas y culturales.
2. La autoridad competente deberá asegurar la formación de
miembros de estos pueblos y su participación en la formulación y ejecución de
programas de educación, con miras a transferir progresivamente a dichos pueblos
la responsabilidad de la realización de esos programas, cuando haya lugar.
De acuerdo con este artículo, los
sistemas de numeración, al ser un conocimiento y técnica de un pueblo
originario, deben ser abarcados en los programas y los servicios de educación
indígena que ofrece el Estado Mexicano. Además las autoridades educativas de
México, deben asegurar que se formen profesores indígenas que conozcan los sistemas
de numeración, para que puedan participar en la formulación y ejecución de
programas de estudio que los incluyan
Artículo 28
1. Siempre que sea viable, deberá
enseñarse a los niños de los pueblos interesados a leer y a escribir en su
propia lengua indígena o en la lengua que más comúnmente se hable en el grupo a
que pertenezcan. Cuando ello no sea viable, las autoridades competentes deberán
celebrar
126
consultas con esos pueblos con
miras a la adopción de medidas que permitan alcanzar este objetivo.
Como vemos, este artículo dice
que los niños que hablan una lengua indígena deben aprender a leerla y a
escribirla. Asimismo la lectura y escritura del sistema de numeración indígena
también debe ser aprendida de igual forma.
2. Deberán adoptarse disposiciones
para preservar las lenguas indígenas de los pueblos interesados y promover el
desarrollo y la práctica de las mismas.
El sistema de numeración, al ser
parte de la lengua, también se debe de promoverse su desarrollo y practicarse.
1.1.2 La Constitución Política de los Estados Unidos Mexicanos
Otro documento normativo importante
para la enseñanza de la numeración indígena es la Constitución Política de los
Estados Unidos Mexicanos. En este documento, en su Artículo Segundo, Apartado
A, se dice:
‘Esta Constitución reconoce y
garantiza el derecho de los pueblos y las comunidades indígenas a la libre
determinación y, en consecuencia, a la autónoma para:
I. Preservar y enriquecer sus
lenguas, conocimientos y todos los elementos que constituyan su cultura e identidad."
127
Esta norma establece la libre
determinación y autonomía que los pueblos y las comunidades indígenas tienen
para decidir la preservación y enriquecimiento de sus lenguas y, por lo tanto,
de sus sistemas de numeración, que son un aspecto de la lengua.
Además, este mismo Artículo, en
su Apartado B dice:
Para abatir las carencias y
rezagos que afectan a los pueblos y comunidades indígenas, dichas autoridades
[La Federación, los Estados y los Municipios] tienen la obligación de:
II. Garantizar e incrementar los
niveles de escolaridad, favoreciendo la educación bilingüe e intercultural, la
alfabetización, la conclusión de la educación básica, la capacitación
productiva y la educación media superior y superior. Definir y desarrollar
programas educativos de contenido regional que reconozcan la herencia cultural
de sus pueblos, de acuerdo con las leyes de la materia y en consulta con las
comunidades indígenas. Impulsar el respeto y conocimiento de las diversas culturas
existentes en la nación.
Es obligación de las autoridades:
federal, estatal y municipal para evitar el rezago educativo. Para ello, deben
favorecer una educación bilingüe e intercultural. Además, de definir y
desarrollar programas educativos de contenido regional que reconozcan el
sistema de numeración indígena, como parte de la herencia cultural de los
pueblos indígenas.
128
1.1.3. Ley General de Derechos
Lingüísticos de los Pueblos Indígenas
No solo la Constitución Política
de los Estados Unidos Mexicanos establece que se debe favorecer una educación
bilingüe, también la Ley General de Derechos Lingüísticos de los Pueblos indígenas
lo norma. En su Artículo 3 se dice:
ARTÍCULO 3. Las lenguas indígenas
son parte integrante del patrimonio culturall y lingüístico nacional. La
pluralidad de lenguas indígenas es una de las principales expresiones de la
composición pluricultural de la Nación Mexicana.
Este artículo determina que las
lenguas indígenas son patrimonio cultural. Por lo tanto, también lo son las numeraciones
de los pueblos indígenas, una vez que son un aspecto de las lenguas.
ARTÍCULO 5. El Estado a través de
sus tres órdenes de gobierno, -Federación, Entidades Federativas y municipios-,
en los ámbitos de sus respectivas competencias, reconocerá, protegerá y promoverá
la preservación, desarrollo y uso de las lenguas indígenas nacionales.
Este artículo nos indica que es
obligación de las autoridades en sus tres órdenes el reconocer, promover,
preservar, el desarrollo y uso de los sistemas de numeración, en tanto que son
parte de la lengua.
ARTÍCULO 11. Las autoridades
educativas federales y de las entidades federativas, garantizarán que la
población indígena tenga acceso a la educación obligatoria, bilingüe e
intercultural, y adoptarán las medidas
129
necesarias para que en el sistema
educativo se asegure el respeto a la dignidad e identidad de las personas,
independientemente de su lengua. Asimismo, en los niveles medio y superior, se
fomentará la interculturalidad, el multilingüismo y el respeto a la diversidad
y los derechos lingüísticos.
Como vemos, las autoridades en
sus tres niveles (federal, estatal y municipal) deben garantizar una educación
obligatoria bilingüe e intercultural. Esta educación bilingüe e intercultural
debe de incluir a los sistemas de numeración.
No solo los artículos 3, 5 y 11
de la Ley General de Derechos Lingüísticos de los Pueblos indígenas ampara las
lenguas indígenas también en su Artículo 13 dice:
ARTÍCULO 13. Corresponde al
Estado en sus distintos órdenes de gobierno la creación de instituciones y la
realización de actividades en sus respectivos ámbitos de competencia, para
lograr los objetivos generales de la presente Ley, y en particular las siguientes:
I. Incluir dentro de los planes y
programas, nacionales, estatales y municipales en materia de educación y
cultura indígena las políticas y acciones tendientes a la protección,
preservación, promoción y desarrollo de las diversas lenguas indígenas
nacionales, contando con la participación de los pueblos y comunidades
indígenas;
V. Supervisar que en la educación
pública y privada se fomente o implemente la interculturalidad, el
multilingüismo y el respeto a la diversidad lingüística para contribuir a la
preservación, estudio y desarrollo de las lenguas indígenas nacionales y su
literatura;
130
VI. Garantizar que los profesores
que atiendan la educación básica bilingüe en comunidades indígenas hablen y escriban
la lengua del lugar y conozcan la cultura del pueblo indígena de que se trate;
Como vemos, este artículo le
asigna a las autoridades del Estado Mexicano la obligación a promover la
enseñanza de los sistemas de numeración, como parte de la lengua. También están
obligadas a contribuir a la preservación, estudio y desarrollo de los sistemas
de numeración. Finalmente, deben garantizar que los profesores que atiendan la
educación básica bilingüe conozcan el sistema de numeración indígena de la
lengua y la cultura del lugar.
1.1.4 Ley General de Educación
Otra norma que ampara las lenguas
indígenas para su promoción, preservación, fomento y desarrollo es la Ley
General de Educación en los diferentes artículos que a continuación se
enumeran.
La Ley General de Educación dice:
Artículo 7o.- La educación que
imparta el Estado, sus organismos descentralizados y los particulares con
autorización o con reconocimiento de validez oficial de estudios tendrá, además
de los fines establecidos en el segundo párrafo del artículo 3 de la
Constitución Política de los Estados Unidos Mexicanos, los siguientes:
IV- Promover mediante la
enseñanza el conocimiento de la pluralidad lingüística de la Nación y el
respeto a los derechos lingüísticos de los pueblos indígenas.
131
Este artículo indica que se debe
promover la enseñanza de los sistemas de numeración indígena, como parte de la
pluralidad lingüística, y para respetar los derechos lingüísticos.
1.1.5 Ley Estatal efe Educación de Oaxaca No solo al órgano federal
le corresponde amparar la diversidad lingüística y sus aspectos sino también lo
tienen que hacer los gobiernos estatales. En el caso de Oaxaca. La Ley Estatal
de Educación Pública, nos dice en su Artículo Sexto, inciso IV, que la
educación que imparta el estado:
IV - Respetará los principios de
la comunidad, como forma de vida y razón de ser de los Pueblos indígenas.
Este artículo determina que se
deben respetar las formas de vida de los pueblos indígenas. Pero no solo esas
formas sino los aspectos culturales de estas comunidades. Esto incluye a los
sistemas de numeración indígena, que son la forma de contar de los pueblos.
ARTÍCULO 7 - Es obligación del
estado impartir educación bilingüe e intercultural a todos los pueblos
indígenas, con planes y programas de estudio que integren conocimientos,
tecnologías y sistemas de valores correspondientes a las culturas de la
entidad. Esta enseñanza deberá impartirse en su lengua materna y en español
como segunda lengua. Para la demás población se incorporarán los planes y
programas de estudio contenidos, de las culturas étnicas de la región y la
entidad.
Este artículo obliga al estado a
impartir educación bilingüe intercultural a todos los pueblos indígenas. Señala
que se deben incluir conocimientos, tecnologías y
132
sistemas de valores que haya en
una entidad. El sistema de numeración de los pueblos indígenas es un
conocimiento cultural que se deben considerar en el Plan y Programas de
estudio.
Además, el Artículo 9 dice que la
educación que se imparta en el estado de Oaxaca, propiciará el desarrollo y
formación armónica e integral del ser humano; atendiendo, entre otros, al
siguiente fin:
III - Proteger, preservar y
fortalecer las lenguas y las manifestaciones culturales y artísticas de los
pueblos indígenas.
Este artículo reitera que las
lenguas y las manifestaciones culturales se deben proteger, preservar y
fortalecer. Los sistemas de numeración, como aspecto de las lenguas y las
manifestaciones cultuales de Oaxaca, también se deben proteger, preservar y
fortalecer.
1.1.6 Lineamientos Generales para la Educación Intercultural Bilingüe
para las Niñas y los Niños Indígenas
Una última norma qué mencionar
son Lineamientos Generales para la Educación Intercultural Bilingüe para las
Niñas y los Niños Indígenas (SEP-DGEI, 1999). En estos se dice lo siguiente:
4. La educación que se ofrezca a las niñas y los niños
indígenas será intercultural y bilingüe.
5. Se entenderá por educación intercultural aquella que
reconozca y atienda la diversidad cultural y lingüística; promueva el respeto a
las diferencias; procure la
133
formación de la unidad nacional,
a partir de favorecer el fortalecimiento de la identidad local, regional y
nacional, así como el desarrollo de actitudes y prácticas que tiendan a la
búsqueda de libertad y justicia para todos.
6. Desde esta posición intercultural se entenderá la
educación bilingüe como aquella que favorezca la adquisición, fortalecimiento,
desarrollo y consolidación tanto de la lengua indígena como del español, y
elimine la imposición de una lengua sobre la otra.
Este lineamiento sustenta el que
la educación bilingüe favorezca la adquisición, fortalecimiento, desarrollo y
consolidación de los sistemas de numeración y además el que se elimine la
imposición del sistema decimal del español.
9. La educación que se ofrezca a
las niñas y los niños indígenas impulsará la innovación pedagógica, así como la
flexibilización de los planes y programas de estudio, del uso de los materiales
educativos y de las formas organizativas, atendiendo a las características de
la cultura comunitaria y sin menoscabo de los niveles de logro educativo
establecidos nacionalmente.
Este lineamiento legitima el que
se enseñen los sistemas de numeración indígenas, ya que aunque no se contemplen
en el plan de estudios, éste pude flexibilizarse y debe atender a las
características de la cultura comunitaria entre la que está el sistema de
numeración.
10. La educación que se ofrezca a
las niñas y los niños indígenas promoverá el uso y la enseñanza de la lengua
indígena y del español en las
134
diferentes actividades del
proceso educativo, por lo que ambas lenguas serán tanto objeto de estudio, como
medio de comunicación.
Este lineamiento afirma que se
debe promover el uso y la enseñanza de la lengua. Por lo tanto, el sistema de
numeración debe ser usado y enseñado.
49. En los Servicios de Educación
Inter-cultural Bilingüe para las Niñas y los Niños Indígenas, se promoverá que
en la selección de los contenidos escolares se consideren tanto aquellos
acordados para la educación básica nacional, como los que emerjan de la cultura
comunitaria indígena, garantizando la articulación y complementariedad entre
los saberes locales, regionales, nacionales y mundiales.
En este punto nos muestra que los
sistemas de numeración pueden y deben ser enseñados, una vez que son parte de
los contenidos escolares que emergen de la cultura comunitaria indígena.
1.2 La numeración como contenido curricular. Oportunidad para
trabajar la interculturalidad en matemáticas.
Como se mostró en el apartado
anterior, un número importante de normas señalan que no solo es posible enseñar
la numeración en las escuelas indígenas sino que es una obligación que se debe cumplir.
En este apartado se habla de la interculturalidad. Se explica que la
interculturalidad es un elemento sustantivo del Plan y Programas de estudio
2011 y que al enseñar la numeración ésta se aplica. La interculturalidad,
entendida como la coexistencia de diferentes pueblos con formas de pensar,
actuar, hablar, organización específicos, que caracteriza a los grupos de
135
unos a otros. A partir de las
características particulares de los pueblos indígenas, la enseñanza de
contenidos escolares -en este caso el sistema de numeración de los pueblos
indígenas-se debe abordar desde un contexto situado.
Para atender a la diversidad y
aplicar la interculturalidad en la norma educativa se dice que:
“La diversidad y la
interculturalidad. El tratamiento de esta temática no se limita a abordar la
diversidad como un objeto de estudio particular, por el contrario, las
asignaturas buscan que los alumnos comprendan que los grupos humanos forman
parte de diferentes culturas, con lenguajes, costumbres, creencias y
tradiciones propias. Asimismo, se reconoce que los alumnos tienen ritmos y
estilos de aprendizaje diferentes y que en algunos casos presentan necesidades
educativas especiales asociadas a alguna discapacidad permanente o transitoria.
En este sentido se pretende que las niñas y los niños reconozcan la pluralidad
como una característica de su país y del mundo, y que la escuelas se conviertan
en un espacio donde la diversidad pueda apreciarse y valorarse común aspecto
cotidiano de la vida” (2011:35)
Este elemento fundamental de la
Reforma Integral Educativa muestra qué trabajar los números de los pueblos
originarios en el salón de clase permitirá al profesor interpretar con claridad
la palabra interculturalidad y todo lo que implica en su aplicación. Es decir,
en ui salón de clases hay una diversidad de culturas, formas de aprender de los
alumnos, entre otras manifestaciones que se dan en un salón de clases debe ser
tomada en cuenta por los profesores para el tema que se aborda.
136
enseñar la numeración de los
pueblos indígenas en las escuelas se está respetando una parte de la diversidad
poique es un conocimiento y una manifestación cultural y que está en el uso
diario de los alumnos que hablan una lengua indígena.
La interculturalidad parte del
movimiento de revitalización de los diferentes grupos étnicos que es causa del
multiculturalismo dado en un contexto de grupos existentes. Se caracteriza por
subrayar la interdependencia entre los diferentes grupos étnicos y culturales
que conviven en la sociedad. Promover su conocimiento, valores y aceptación
mutuos.
Al incluir los sistemas de
numeración de los pueblos indígenas en el programa de matemáticas se está cumpliendo
la palabra intercultural Desde el momento en que se está dando el respeto a un
conocimiento cultural de los propios pueblos.
1.2.1 Matemáticas e interculturalidad
La matemática es una construcción
y un conocimiento universal. Da respuesta a las necesidades cotidianas del ser
humano. Los grupos culturales fueron y han ido construyendo las distintas
formas, sistemas, numeraciones, medición y cálculo.
La interculturalidad en el aula,
-en una clase de matemáticas- se justifica con la presencia de diversas
culturas que coexisten, en relaciones e interacciones que se da en tres
agentes: alumno, docente y las matemáticas, en la cual se recuperan distintas
maneras de abordar a las matemáticas y los conocimientos del que son portadores
los alumnos.
137
Para cumplir los objetivos de la
educación intercultural y en las matemáticas es importante insertar en el
currículo de educación básica, conocimientos indígenas, en particular, la
numeración de los pueblos indígenas de México. La inclusión de contenidos,
permitirá la igualdad, el respeto hada otros conocimientos que no están de
manera dará en el currículo de estudios de la educación básica, por otro lado,
la interculturalidad no puede verse únicamente como una forma de relaciones
sino también, cómo hacer cumplir las leyes, en las cuales, se fundamenta el de
incluir conocimientos matemáticos de los pueblos originarios en el sistema
educativo nacional. Esto se explica en acuerdos, artículos de carácter estatal,
nacional y de organismos no gubernamentales. La escuela debe tomar en cuenta la
herencia cultural de cada pueblo, fomentar una pedagogía que facilite el
desarrollo del niño a partir y dentro de su universo cultural y lingüístico
local y eso al opuesto de la pedagogía culturalmente asimiladora (Gasché,
2004:7)
Además la diversidad de al un nos
en un aria se entiende que cada alumno trae conocimientos matemáticos
extraescolares. Al haber multiplicidad de conocimientos matemáticos la
educación matemática según Gorgorio (2006:8) permite interpretar la diversidad
cultural en el aula como fuente de riqueza para el aprendizaje", y esa
riqueza tiene que ser aprovechada. Los conocimientos previos que portan los
alumnos, se puede generar aprendizaje significativo. Al mismo tiempo
desarrollan identidades sociales y culturales de su contexto, al tener una
identidad de su grupo social y manifestarla en el aula de matemáticas se aplica
la Interculturalidad.
138
1.2.1 Programa de matemáticas de Educación Primaria. Quinto grado.
Ensenar la numeración de los
pueblos originarios es aplicar lo que está escrito en el programa de
matemáticas de Educación Primaria. Motiva difundir, recuperar, rescatar con
seguridad, conocimientos y prácticas locales de los pueblos originarios de
México.
En el programa de matemáticas se
reconoce la diversidad. En ella, están sumergidos los diferentes aspectos que dan
sentido a la pluriculturalidad y la multiculturalidad en el territorio nacional
mexicano. En ella, se expresa que se tienen que considerar las formas de vida
de los propios pueblos. Especificando la interpretación de cómo se concibe la
palabra interciitnal y al ser la primera característica del Plan y Programa de
Estudio de Educación Primaria, considero importante mencionar que las formas de
contar de los pueblos originarios es un elemento de la cultura que se debe
conocer, analizar, fortalecer en su uso, además de considerarse en el proceso
de enseñanza y aprendizaje de los números en el ámbito educativo.
La enseñanza de los números con
un sistema de numeración ágiafa se destaca en el programa de matemáticas de
quinto grado. En él se mencionan numeraciones de otras culturas que deben
conocer los alumnos.
En el programa de matemáticas de
quinto grado 2011 el primer eje se denomina “Sentido numérico y pensamiento
algebraico y alude a los fines más relevantes del estudio de la aritmética y
del álgebra. En el primer punto de este eje temático se
139
pretende que los alumnos
realicen: La modelización de situaciones mediante el uso del lenguaje
matemático.
Eso fundamenta desde la reflexión
como profesora indígena que así como las numeraciones de otras culturas deben
ser conocidas, también los alumnos hablantes de una lengua indígena deben
conocer en sus propias lenguas la manera como cuentan, lo nombran y lo hablan.
Estas acciones deben darse a través de una reflexión y la pertinencia para su
enseñanza en el aula.
La insistencia en que se enseñe
la numeración de los pueblos originarios en el salón de clases, se sustenta lo
que está escrito en el programa de matemáticas de quinto grado. En el apartado:
Conocimientos y habilidades, bloque III
en el 3.1, se plantea que el alumno Reconoce relaciones entre las reglas de
funcionamiento del sistema de numeración decimal oral y de otros sistemas
ágrafas.(22011:102). Además en el programa de matemáticas se menciona que el
alumno: “Lea, escriba y compare números decimales hasta centésimos en contextos
de dinero y de medición. ” (2011: 82) Para que haya logros en el aprendizaje es
importante que los alumnos de los pueblos originarios conozcan cómo se lee, se
escribe y su estructura de su numeración y sea motivo de aprendizaje.
1.2.3 Enfoque del programa de
matemáticas.
El enfoque del programa de
matemáticas dice que la enseñanza de las matemáticas en educación básica es:
"... llevar a las aulas actividades de estudio que despierten el interés
de los alumnos y los inviten a reflexionar, a encontrar diferentes formas de
resolver los problemas y a formular argumentos que validen los resultados”.
140
(2009:80) Con base a el
conocimiento que saben los alumnos de su numeración, es invitarlos a
reflexionar el valor de la forma de contar de su pueblo.
Al haber revisado el enfoque y la
manera en que se propone abordar la enseñanza de los contenidos matemáticos, no
se pueden descartar la enseñanza de la numeración de los pueblos originarios.
Es decir, si para la numeración decimal se indica reflexionar y argumentar, a
partir, de un planteamiento de problema, por qué no pueden hacer las mismas
acciones pedagógicas, en las numeraciones indígenas. De ahí que su construcción
requiera procesos de estudio más o menos largos, que van de lo informal a lo
formal.’’ (2009:80). Esta cita, lleva interpretar que si el alumno cuenta
oralmente y en su lengua originaria -el ëyuujk por citar como ejemplo- me
obliga a decir, que el alumno tiene en su bagaje de conocimientos una manera
particular de realizar el conteo. Lo que se puntualiza es que el alumno
desarrolla el conteo en el sistema vigesimal, no puede pensarse como un aspecto
aislado el conocimiento informal del que es portador el alumno.
El Propósito del programa de
matemáticas de educación primaria dice que los alumnos: “Conozcan y sepan usar
las propiedades del sistema decimal de numeración para interpretar o comunicar
cantidades en distintas formas. (2011:82) Lo que se pretenda que aprenda el
alumno de la numeración decimal también se puede tomar como referencia para
abordar la enseñanza de la numeración éyuujk. Para que pueda achancarse el
propósito tomo en cuerda el propósito el 3.1 del tercer bloque. Quinto grado de
primaria del libro del alumno.
Anexo 2. Memoramas
tu
Anexo 3. Eyuuk metsony Jets xyé'
éyuxA mltMflffACa •),«'
U!£-]fc(
142
vujejitji
1£3
Anexo 4. Sistemas de Numeración
utilizados
Los sistemas de numeración
analizados en esta intervención pedagógica.
Numeración de la lengua chinanteca
de la comunidad de San Antonio Analco. Profesores que asistieron! a la
capacitación! p3ra nuevo ingreso julio-agosto 201D. Municipio: San Felipe Usila
Estado: Oaxaca
Numeración del 1 al 100
Nombre
del número Configuración Aritmética
1 Kón 1
2 Tún 2
3 Nén 3
4 Kién 4
5 Kan 5
6 fien 0
7 Kiú 7
8 ■fia 8
9 fií 9 ¡iregiiar
10 Kia 10
11 Kía kón 10+1
12 Kía tún 10+2
13 Kía nén 10+3
14 Kía kién 10+4
15 kía irían 10+5
144
10 Kía iñén 10*6
17 Kía kiú 10+7
18 Kía 'fia 10+8
19 Kía né 10+9
20 Kiu 20
21 Kiu kón
22 Kiu tún
23 Kiu nén
24 Kiu kién
25 Kiu irían
20 Kiu iñén
27 Kiu kiú
28 Kiu 'fia
29 Kiu iñt
30 KRJfiá
31 KiÜkiá kón
32 KúJciá tún
33 KRJfiá nén
34 KúJciá kién
35 KúJciá iñan
30 KúJciá iñén
37 KúJciá kiú
38 KúJciá "Iñá
39 KúJciá iñn
20+1
20+2
20+3
20+4
20+5
20+0
20+7
20+8
20+9
20+10
20+10+1
20+10+2
20+10+3
20+10+4
20+10+5
20+10+0+
20+10+7
20+10*8
20+10+9
Tolo
40
40
1«
41 Tolo kón 4D+1
42 Tolo tún 4D+2
43 Tolo nén 4B+3
44 Tolo kién 4B+4
45 Tolo irían 4B+5
40 Tolo iñén 4B+0
47 Tolo kiú 4B+7
48 Tolo 'Iñá 4B+8
49 Tolo iñá 4B+9
50 Tolkiá 4B+10
51 Tolkiá kón 4B+10+1
52 Tolkiá Tún 4B+10*2
53 Tolkiá Nén 4B+1Q+3
54 Tolkiá Kiém 4B+10+4
55 Tolkiá Irían 4B+10*5
50 Tolkiá fon 4B+1O+0
57 Tolkiá Kiú 4B+10+7
58 Tolkiá "Iñá 4B+10+B
59 Tolkiá Iñá 4B+10+9
00 Tolkiá ts kía 4B+10+10
01 Tolkiá
ts kía Kón 4B+10+1G+1I
02 Tolkiá
ts kía Tún 4B+10+1G+2
03 Tolkiá
ts kía Nén 4B+10+1Q+3
04 Tolkiá
ts kía Kién 4B+10+10+4
05 Tolkiá ts kía fon 4B+10+10+5
1C6
ee Tolkiá ts kía fien 48+10*10+6
87 Tolkiá ts kía Kiú 4D+1Q+10+7
68 Tolkiá ts kía " fia 48+10+10+8
89 Tolkiá ts kía ¡ñí 48+10+10+9
70 Tolkiá ts kú 48+10+20
71 Tolkiá ts kú Kón 48+10+20+1
72 Tolkiá ts kú Tún 48+10+20+2
73 Tolkiá ts kú Nén 48+10+20+3
74 Tolkiá ts kú Kién 48+10+20+4
75 Tolkiá ts kú fian 48+10+20+5
76 Tolkiá ts kú fien 48+10+20+6
77 Tolkiá ts kú Kiú 48+10+20+7
78 Tolkiá ts kú 'Iñá 48+10+20+8
79 Tolkiá ts kú fií 48+10+20+9
80 Tolkiá ts Kúkiá 48+10+20+10
81 Tolkiá ts Kúkiá ts Kón 48+10+20+10+1
82 Tolkiá ts Kúkiá ts Tún 48+10+20+10+2
83 Tolkiá ts Kúkiá ts Míen 48+10+20+10+3
84 Tolkiá ts Kúkiá ts Kién 48+10+20+10+4
85 Tolkiá
ts Kúkiá ts fian 48+10+20+10+5
88 Tolkiá
ts Kúkiá ts fien 48+10+20+10+6
87 Tolkiá
ts Kúkiá ts Kiú 48+10+20+10+7
88 Tolkiá
ts Kúkiá ts ‘fiá 48+10+20+10+8
89 Tolkiá
ts Kúkiá ts iñí 48+10+20+10+9
60 Tolkiá
ts Tote 48+10+40
147
91 Tolkiá
ts Totó Kón 49+10*40+1
92 Tolkiá ts Totó Tún 49+10*40+2
93 Tolkiá ts Totó Nén 49+10*40+3
94 Tolkiá ts Tolo Hién 49+10*40+4
95 Tolkiá ts Totó fian 49+10*40+5
90 Tolkiá ts Totó Kén 49+10*40+6
97 Tolkiá ts Totó Kiú 49+10*40+7
98 Tolkiá ts Totó 'Iñá 49+10*40+8
99 Tolkiá ts Totó iñí 49+10*40+9
109 Iñaló
209 Tútó
309 Nenió
409 Kiénló
509 Inanló
100Q Kónmen
Numeración mazateca Rogelio Ruiz
Carrizo sa
5 en 10 tie 10*5 tjion
1 jngu 1+5 jion 10+1
tejngu (1Q+5J+1 tjionjjngu
2 jo 7 yatu 10+2 tejo (10+5J+2 tjionjo
3 jian 3+5 jin 10+3 tejan (10+5J+3 tyon jjan
4 íiuiun 4+5 najan 10*4
teñujumi (10+5J+4 tyon ñujun
1Í3
Numeración mixteca Fareny García
García
10
1 ín 10+1
2 ti 10+2
3 uní 10+3
4 (tumi 10+4
5 u'un
Ó i ñu
7 usa
8 una
9yi
Lengua tsotsit
Daniel López Hernández
u» 15 sa'un
u» ín 15+1 sa'uniin
un u 15+2 sa'un ti
uw uní 15+3 sa'un uní
un (cuna 15+4 sa'un
kumi
1 Jun 11 Bu'uchib 20jtob
2 CNb 12 Lajchaeb 21 jun xcba'viinik
30xib 13 OxSajuneb 22 chib xcha'vnk
4 Chanib 14 Ctoanlajuneb 23 oxib xcha'vinik
5 Jo'ob 15 Jólajuneb 24 chanib xcha'vinik
1C9
0Vakib 16 VakJajuneb 25jo'ob xcha'wnik
7 Jufoib 17 JIuMajuneb 26 vakíb xcha'wnik
BVaxakib 18 Vaxaklaiuneb 27 jukub xcha'wnik
9 Baluneb 19 Balurfajumeb 28 vaxakíb xcha'uirok
29 baluneb xcha'vinúk
33 lajuneb xcha'wnik
31 buluchib xcha'wmik
32 lajcbaeb xchauink
33 oxlajuneb xcbawnik
34 chaniiajuneb xchauink
35 jolajuneb xchauink
36 vaMajuneb xchauink
37 juklajuneb xchawhik
33 vaxakBajuneb xchawhik
33 balunlajuneb xchauink
Numeración en 9a rangua zapoteca
Prof. Alejandro Ortiz
ISO
1 Tiby 20 gal'd
2 tiopa 30 galbidxi
3 dxona 40 tiopagal
4 tapa 50 tiopgaüdxi
5 gav 60 gayón
o dxonagald
6 xopa 70 dxonagaldxi
7 gadxa 80 tapgatd
S xuna 90 tapgalldxi
9 gaa 100 tibigaywa
10 dxi 200 tíopagaywa
300 dxongaywa
400 tapagaywa
151
Anexo 5. Nombre y lengua de los
profesores.
Nombre y lengua que habitan los
profesores que apoyaron en el análisis de los sistemas de numeración que aparecen
en esta tesis.
Nombre
Profesores de nuevo ingreso
2010-2011
Rogelio Ruiz carrizosa
Fanny García García
Norma Filomena Nbrtiiez Jiménez
Alejandro Girtiz Sánchez y
profesores de nuevo ingreso 2010-2011.
Lengua
Chmanteco
Mazateco
Mxteco
Mxe
Zapoteen
Danél López Hernández
Tsolsil
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